Question

（18分） 如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ。均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小），由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止。空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）。两金属棒与导轨保持良好接触。不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g。

（1）若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v₁，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；

（2）在（1）问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电荷量；

（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止。求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离。

Answer

（1）Qef＝；（2）q＝；（3）Bm＝，方向竖直向上或竖直向下均可，xm＝

【解析】（1）由于ab棒做切割磁感线运动，回路中产出感应电流，感应电流流经电阻R和ef棒时，电流做功，产生焦耳热，根据功能关系及能的转化与守恒有：＝QR＋Qef ①

根据并联电路特点和焦耳定律Q＝I2Rt可知，电阻R和ef棒中产生的焦耳热相等，即QR＝Qef ②

由①②式联立解得ef棒上产生的热量为：Qef＝

（2）设在ab棒滑行距离为d时所用时间为t，其示意图如下图所示：

该过程中回路变化的面积为：ΔS＝[L＋（L－2dcotθ）]d ③

根据法拉第电磁感应定律可知，在该过程中，回路中的平均感应电动势为：＝ ④

根据闭合电路欧姆定律可知，流经ab棒平均电流为：＝ ⑤

根据电流的定义式可知，在该过程中，流经ab棒某横截面的电荷量为：q＝ ⑥

由③④⑤⑥式联立解得：q＝

（3）由法拉第电磁感应定律可知，当ab棒滑行x距离时，回路中的感应电动势为：e＝B（L－2xcotθ）v2 ⑦

根据闭合电路欧姆定律可知，流经ef棒的电流为：i＝ ⑧

根据安培力大小计算公式可知，ef棒所受安培力为：F＝iLB ⑨

由⑦⑧⑨式联立解得：F＝ ⑩

由⑩式可知，当x＝0且B取最大值，即B＝Bm时，F有最大值Fm，ef棒受力示意图如下图所示：

根据共点力平衡条件可知，在沿导轨方向上有：Fmcosα＝mgsinα＋fm ⑪

在垂直于导轨方向上有：FN＝mgcosα＋Fmsinα ⑫

根据滑动摩擦定律和题设条件有：fm＝μFN ⑬

由⑩⑪⑫⑬式联立解得：Bm＝

显然此时，磁感应强度的方向竖直向上或竖直向下均可

由⑩式可知，当B＝Bm时，F随x的增大而减小，即当F最小为Fmin时，x有最大值为xm，此时ef棒受力示意图如下图所示：

根据共点力平衡条件可知，在沿导轨方向上有：Fmincosα＋fm＝mgsinα ⑭

在垂直于导轨方向上有：FN＝mgcosα＋Fminsinα ⑮

由⑩⑬⑭⑮式联立解得：xm＝

【考点定位】功能关系、串并联电路特征、闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律、楞次定律共点力平衡条件的应用，和临界状态分析与求解极值的能力

【名师点睛】培养综合分析问题的能力、做好受力分析与运动分析是求解此类问题的不二法门。

【方法技巧】多画图，多列分步式，采用极限假设寻求临界状态。