Question

（14分）为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l = 2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的。其AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个小物块以初速度＝4.0m/s从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿 AB 方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数 μ = 0.50．（g＝10 m／s²、sin37°＝ 0.60、cos37° ＝0.80）

（1）求小物块到达A点时速度。

（2）要使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应该满足什么条件？

（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？

Answer

（1）5m/s ；（2）R1 ≤ 0.66m；（3）R2 ≥ 1.65m

【解析】

试题分析：（1）小物块做平抛运动，经时间 t 到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度v0，竖直速度为vy，小物块恰好沿斜面AB方向滑下，则

得vy = 3 m/s，

所以小物块到A点的速度为5m/s

（2）物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力 f = μFN = μmgcos37°

设物块进入圆轨道到达最高点时有最小速度v1，此时物块受到的重力恰好提供向心力，令此时的半径为 R0，

则

物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，根据动能定理有：

mg(h + lsin37°–2R0)–μmgcos37°·l = mv12 –mv02.

联立上式，解得R0=0.66m

若物块从水平轨道DE滑出，圆弧轨道的半径满足 R1 ≤ 0.66m

（3）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道 AB，则物块上升的高度须小于或等于某个值R，则 mg(h + lsin37°) – μmgcos37°·l – mgR = 0 –mv02

解得R = 1.65m

物块能够滑回倾斜轨道 AB，则 R2 ≥ 1.65m

考点：平抛运动；动能定理.