Question

如图所示为我国“嫦娥一号卫星”从发射到进入月球工作轨道的过程示意图。

在发射过程中经过一系列的加速和变轨，卫星沿绕地球“48小时轨道”在抵达近地点P时，主发动机启动，“嫦娥一号卫星”的速度在很短时间内由v₁提高到v₂，进入“地月转移轨道”，开始了从地球向月球的飞越。“嫦娥一号卫星”在“地月转移轨道”上经过114小时飞行到达近月点Q时，需要及时制动，使其成为月球卫星。之后，又在绕月球轨道上的近月点Q经过两次制动，最终进入绕月球的圆形工作轨道I。已知“嫦娥一号卫星”质量为m₀，在绕月球的圆形工作轨道I上运动的周期为T，月球的半径r_月，月球的质量为m_月，万有引力恒量为G。

（1）求卫星从“48小时轨道”的近地点P进入“地月转移轨道”过程中主发动机对“嫦娥一号卫星”做的功（不计地球引力做功和卫星质量变化）；

（2）求“嫦娥一号卫星”在绕月球圆形工作轨道I运动时距月球表面的高度；

（3）理论表明：质量为m的物体由距月球无限远处无初速释放，它在月球引力的作用下运动至距月球中心为r处的过程中，月球引力对物体所做的功可表示为。为使“嫦娥一号卫星”在近月点Q进行第一次制动后能成为月球的卫星，且与月球表面的距离不小于圆形工作轨道I的高度，最终进入圆形工作轨道，其第一次制动后的速度大小理论上应满足什么条件？

Answer

（1）

（2）

（3）

【解析】

试题分析：（1）根据动能定理，主发动机在嫦娥一号卫星进入地月转移轨道过程中对卫星做的功

（2）设“嫦娥一号卫星”在圆轨道I上运动时距月球表面的高度为h，根据万有引力定律和向心力公式有

解得

（3）设“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后，在圆轨道I上运动的速度为，

则

解得：

设“嫦娥一号卫星”在通过近月点脱离月球引力束缚飞离月球的速度为，根据机械能守恒定律

解得：

所以，“嫦娥一号卫星”在近月点进行第一次制动后的速度应满足的条件是：

考点：本题考查万有引力定律综合应用及其相关问题

【名师点睛】本题需要注意在求主发动机做功的时候，不要把引力做的功考虑进去，因为题目说了是很短时间，故引力做功不需要考虑；在绕月球做圆周运动时，由万有引力充当向心力的周期公式可以得到卫星离地高度；最后需要用到机械能守恒定律的相关内容。