Question

（10分）如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，B点为水平面与轨道的切点，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：

（1）求推力对小球所做的功。

（2）x取何值时，完成上述运动推力所做的功最少？最小功为多少。

（3）x取何值时，完成上述运动推力最小？最小推力为多少。

Answer

（1）（2）2R；mgR （3）4R；mg

【解析】

试题分析：（1）质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为vC，质点从C点运动到A点所用的时间为t，

在水平方向：x=vCt 竖直方向上：2R=gt2

解得

对质点从A到C由动能定理有 WF-mg·2R=

解得：

（2）要使F力做功最少，确定x的取值，由WF=2mgR+mv知，只要质点在C点速度最小，则功WF就最小。若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律有,则v=

有，解得：x=2R

当x=2R时， WF最小，最小的功：WF=mgR

（3）由式WF=mg() 及WF=F x 得：

F有最小值的条件是：即x=4R

得最小推力为：F=mg

考点：平抛运动；动能定理；功

【名师点睛】此题考查了平抛运动的特点、动能定理以及功的公式；解题时要挖掘隐含的临界条件：小球通过C点的最小速度为，由动能定理求解F做功，再运用数学不等式知识求解极值；此题有一定的难度，意在考查学生综合分析问题的能力以及利用数学知识解决物理问题的能力。