Question

（19分）如图所示，天花板上有固定转轴O，长为L的轻杆一端可绕转轴O在竖直平面内自由转动，另一端固定一质量为M的小球。一根不可伸长的足够长轻绳绕过定滑轮A，一端与小球相连，另一端挂着质量为m₁的钩码，定滑轮A的位置可以沿OA连线方向调整。小球、钩码均可看作质点，不计一切摩擦，g取10m/s²。

（1）若将OA间距调整为L，则当轻杆与水平方向夹角为30º时小球恰能保持静止状态，求小球的质量M与钩码的质量m₁之比；

（2）若在轻绳下端改挂质量为m₂的钩码，且M:m₂=4:1，并将OA间距调整为L，然后将轻杆从水平位置由静止开始释放，求小球与钩码速度大小相等时轻杆与水平方向的夹角θ；

（3）在（2）的情况下，测得杆长L=2.175m，仍将轻杆从水平位置由静止开始释放，当轻杆转至竖直位置时，小球突然与杆和绳脱离连接而向左水平飞出，求当钩码上升到最高点时，小球与O点的水平距离。

Answer

（1）1：1（2）41.4°（3）2m

【解析】

试题分析：（1）依题意，小球处于静止状态时，∠AOM=30°，由几何关系知，此时∠OAM=30°．

分析小球受力，设轻杆对其弹力大小为F，方向沿杆向上，轻绳对其弹力大小为T，则

Fcos30°=Tcos30°

Fsin30°+Tsin30°=Mg

解得：M=m1，即M：m1=1：1．

（2）小球绕O点作圆周运动，其速度方向始终沿垂直于轻杆方向，只有当轻绳也与轻杆垂直时，小球与钩码的速度相等，此时：，θ≈41.4°

（3）小球与钩码构成的系统机械能守恒，有：

又M：m2=4：1

设此时轻绳与水平方向夹角为α，则，所以α=37°．

v1cosα=v2

解得：v1=5m/s/，v2=4m/s．

钩码做竖直上抛运动，上升到最高点的时间为：

小球离开杆后做平抛运动，此时它与O点的水平距离为：s=v1t=5×0.4m=2m

考点：机械能守恒定律；牛顿第二定律.

【名师点睛】本题难度较大，主要考查机械能守恒定律及牛顿第二定律的应用；解题时分清楚物体的受力情况和运动情况是解题的关键；灵活应用和运动与分运动的关系、机械能守恒和运动规律求出速度，再求出时间，据此求出距离是解题的核心。