Question

（20分）如图所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆形轨道，OA处于水平位置．AB是半径为R=2m的圆周轨道，CDO是半径为r=1m的半圆轨道，最高点O处固定一个竖直弹性挡板．D为CDO轨道的中点．已知BC段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接．已知BC段水平轨道长L=2m，与小球之间的动摩擦因数μ=0.4．现让一个质量为m=1kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H自由下落.（g=10m/s²）

（1）当H=8.55m时，问此球第一次到达O点对轨道的压力；

（2）当H=8.55m时，试通过计算判断此球是否会脱离CDO轨道．如果会脱离轨道，求脱离位置距C点的竖直高度．如果不会脱离轨道，求静止前球在水平轨道经过的路程；

（3）H取值满足什么条件时，小球会脱离CDO轨道？

Answer

（1）FN′=145N，方向竖直向下 ；（2）脱离位置N距C点的竖直高度位；

（3）（其中k取奇数1，3，5，7 ）

【解析】

试题分析：

（1）设小球第一次到达O点的速度为v0，小球从释放到O的过程，由动能定理得：

①

在O点，由牛顿第二定律得： ②

联立解得：FN=145N

由牛顿第三定律得小球第一次到达O点对轨道的压力大小 FN′=FN=145N，方向竖直向下．

（2）设小球第k次（k为奇数1，3，5， ）经过C点时的动能为Ek，由动能定理得：

③

若第k次（k为奇数1，3，5， ）经过C点后，恰能到达CDO轨道上的D点，则需要：

④．

若第k次经过C点后，恰能到达CDO轨道上的O点，在O点由重力充当向心力，速度为，则需要 ⑤

联立解得：当k=11时，有

即10J＜Ek＜17.5J，所以小球会在第11次经过C点后在DO之间脱离轨道．

设在CDO轨道上的N脱离轨道，过N点的半径与达D点的半径夹角为θ，则从C点到N点的过程，根据动能定理得： ⑥

在N点,小球对轨道的压力为零，由牛顿第二定律得： ⑦

联立解得

所以脱离位置N距C点的竖直高度 ⑧

(3)由(2)问知小球脱离CDO轨道的条件为 ⑨

联立解得：（其中k取奇数1，3，5，7 ）

考点：本题考查动能定理的应用、牛顿第二定律．

【名师点睛】本题关键是结合动能定理和向心力公式判断物体的运动情况，注意临界点D和O位置的条件．知道小球刚脱离轨道时，由重力的径向分力提供向心力．