Question

某游戏装置放在竖直平面内，如图所示，装置由粗糙抛物线形轨道AB和光滑的圆弧轨道BCD构成，控制弹射器可将穿在轨道上的小球以不同的水平初速度由A点射入，最后小球将由圆轨道的最高点D水平抛出，落入卡槽中得分，圆弧半径为R，O′为圆弧的圆心，C为圆弧轨道最低点，抛物线轨道上A点在坐标轴的原点O上，轨道与圆弧相切于B点，抛物线轨道方程为y=ax²（0＜a＜），∠BO′C=θ，x轴恰好将半径O′D分成相等的两半，交点为P，x轴与圆弧交于Q点，则：   

（1）将小球以某一初速度水平由A点射入轨道，小球沿轨道运动到与A等高处Q，速度减为0，试求小球运动到B点的速度；

（2）由（1）得到的B点的速度，能否求出小球在A点射入的速度，如果能请求出v₀，不能，请说明理由（3）试求在多次弹射小球的过程中，机械能损失最小的一次，小球在最高点D对轨道的作用力与最低点C对轨道的作用力的比值．

Answer

（1）（2）无法由动能定理求得小球在A点时的速度；（3）

【解析】

试题分析：（1）小球从B到Q的过程中在光滑的圆弧轨道上运动，全过程中只有重力做功，根据动能定理有：

解得小球在B点时的速度：

（2）不能求出，因为抛物线轨道粗糙，小球在轨道上运动时所受摩擦力是变力，故不能求出摩擦力对小球做的功，所以无法由动能定理求得小球在A点时的速度；

（3）由题意可知，要使小球损失的机械能最小，即小球在整个运动过程中无摩擦力做功，所以当小球做平抛运动轨道恰好与抛物线轨道重合时，小球运动过程中无摩擦力做功，所以有：

根据平抛运动规律有：x=v0t

可得

所以：

小球从A到C，只有重力做功有：

小球在最低点竖直方向的合力提供圆周运动向心力有：

联列两式可解得：

从A到D过程中只有重力做功有：

解得：

因为

所以：

小球在D点有：

可得：

所以可得：

考点：动能定理；牛顿第二定律