Question

（10分）如图甲所示，水平传送带以5.0m/s恒定的速率运转，两皮带轮之间的距离l=6.0m，皮带轮的半径大小可忽略不计。沿水平传送带的上表面建立xOy坐标系，坐标原点O在传送带的最左端。半径为R的光滑圆轨道ABC的最低点A点与C点原来相连，位于竖直平面内（如图18乙所示），现把它从最低点处切开，并使C端沿y轴负方向错开少许，把它置于水平传送带的最右端，A点位于x轴上且与传送带的最右端之间的距离可忽略不计，轨道的A、C两端均位于最低点， C端与一水平直轨道平滑连接。由于A、C两点间沿y轴方向错开的距离很小，可把ABC仍看作位于竖直平面内的圆轨道。

将一质量m=1.0kg的小物块P（可视为质点）沿x轴轻放在传送带上某处，小物块随传送带运动到A点进入光滑圆轨道，恰好能够通过圆轨道的最高点B，并沿竖直圆轨道ABC做完整的圆周运动后由C点经水平直轨道滑出。已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.50，圆轨道的半径R=0.50m，取重力加速度g=10 m/s²。求：

（1）物块通过圆轨道最低点A时对轨道压力的大小；

（2）轻放小物块位置的x坐标应满足什么条件，才能完成上述运动；

（3）传送带由电动机带动，其与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。若将小物块轻放在传送带上O点，求为将小物块从O点运送至A点过程中电动机多做的功。

Answer

（1）60N（2）x≤ 3.5m（3）25J

【解析】

试题分析：（1）设物块恰好通过圆轨道最高点B时的速率为vB，

根据牛顿第二定律有： mg=

解得：vB== m/s =m/s

设物块通过圆轨道最低点A的速率为vA，对于物块由A点运动至B点的过程，

根据机械能守恒定律有： m=m+2mgR

解得：vA=5.0m/s（1分）

设物块通过圆轨道最低点A时，轨道对物块的支持力为FN，

根据牛顿第二定律有FN－mg= ；解得：FN=60N

据牛顿第三定律，物块通过圆轨道最低点A对轨道的压力FN= FN=60N

（2）物块在传送带上的加速度a=μg=5.0m/s2

根据（1）可知物块运动至A点的速度满足vA=5.0m/s，可使其恰好通过圆轨道最高点B。传送带的速率v0=5.0m/s，物块在传送带上加速运动的位移为

故轻放小物块的位置坐标需满足x≤ l-x0=3.5m

（3）设为将小物块从O点运送到A点传送带电动机做的功为W，

小物块加速运动时间，小物块加速运动的位移

根据功能关系有：

考点：牛顿第二定律；功能关系