Question

如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R=0.2m的竖直圆形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为L=1m，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然状态．质量为m=1kg的小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v₀=2 m/s冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．物块A与PQ段间的动摩擦因数μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小v₁；

（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度h₁；

（3）调节PQ段的长度L，A仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当L满足什么条件时，物块A能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道．

Answer

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为2m/s．

（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度0.2m．

（3）A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道的条件是：1m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

【解析】【解析】
（1）设物块A与弹簧刚接触时的速度大小为v1，物块从开始运动到P的过程，由动能定理，可得：

﹣μmgL=mv12﹣mv22；

代入数据解得：v1=2 m/s ①

（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度为h1，由动能定理得：

﹣μmgL﹣mgh1=0﹣mv12

代入数据解得：h1=0.2m=R，符合实际 ②

（3）①若A沿轨道上滑至最大高度h2时，速度减为0，则h2满足：

0＜h2≤R ③

由动能定理得：﹣2μmgL1﹣mgh2=0﹣mv02 ④

联立③④得：1m≤L1＜1.5 m②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足：

m≥mg ⑤

由动能定理得：

﹣2μmgL2﹣mg•2R=mv22﹣mv02 ⑥

联立⑤⑥得：L2≤0.25 m

综上所述，要使物块A能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，L满足的条件是：1m≤L＜1.5m或 L≤0.25 m．

答：（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小为2m/s．

（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度0.2m．

（3）A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道的条件是：1m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

【考点】动能定理的应用；牛顿第二定律；向心力．

【专题】计算题；定量思想；临界法；动能定理的应用专题．

【分析】（1）物块A从Q到P过程中，运用动能定理，结合摩擦力做功，从而求出物块A与弹簧刚接触时的速度大小．

（2）根据运动学公式求得回到圆轨道的速度大小，再根据动能定理求出A能够上升的高度，并讨论能否达到此高度．

（3）A物块能返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道，要么能够越过圆轨道的最高点，要么在圆轨道中上升的高度不要超过圆轨道的半径，结合动能定理、动量守恒定律和牛顿第二定律求出l所满足的条件．

【点评】本题综合考查了动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律，关键要掌握小球不脱离圆轨道的条件，知道有两种情况，不能漏解，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强训练．