Question

如图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达小孔A进入半径R=0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔．已知摆线长L=2m，θ=60°，小球质量为m=0.5kg，D点与小孔A的水平距离s=2m，g取10m/s²．试求：

（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？

（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面摩擦因数μ的范围．

Answer

（1）摆线能承受的最大拉力为10N；

（2）粗糙水平面摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125．

【解析】【解析】
（1）当摆球由C到D运动，机械能守恒，则得：mg（L﹣Lcosθ）=

在D点，由牛顿第二定律可得：Fm﹣mg=

联立可得：摆线的最大拉力为 Fm=2mg=10N

（2）小球不脱圆轨道分两种情况：

①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，

对小球从D到A的过程，由动能定理可得：﹣μ1mgs=0﹣

解得：μ1=0.5

若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道．其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得：=mgR

由动能定理可得：﹣μ2mgs=﹣

解得：μ2=0.35

②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：

由动能定理可得：

解得：μ3=0.125

综上，所以摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125

答：（1）摆线能承受的最大拉力为10N；

（2）粗糙水平面摩擦因数μ的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125．

【考点】动能定理的应用；牛顿第二定律；机械能守恒定律．

【专题】动能定理的应用专题．

【分析】（1）摆球摆到D点时，摆线的拉力最大，根据机械能守恒定律求出摆球摆到D点时速度，由牛顿第二定律求出摆线的最大拉力．

（2）要使摆球能进入圆轨道，并且不脱离轨道，有两种情况：一种在圆心以下做等幅摆动；另一种能通过圆轨道做完整的圆周运动．

小球要刚好运动到A点，对小球从D到A的过程，运用动能定理求出动摩擦因数μ的最大值；

若小球进入A孔的速度较小，并且不脱离轨道，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道，其临界情况为到达圆心等高处速度为零，根据机械能守恒和动能定理求出动摩擦因数．

要使摆球能进入圆轨道，恰好到达轨道的最高点，就刚好不脱离轨道，在最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出此时小球的速度，对从D到轨道最高点的过程，运用动能定理求解动摩擦因数的最小值，即可得到μ的范围．

【点评】本题关键是不能漏解，要知道摆球能进入圆轨道不脱离轨道，有两种情况，再根据牛顿第二定律、机械能守恒和动能定理结合进行求解．