Question

如图所示，在平面直角坐标系xoy内，第一象限存在沿y轴负方向的匀强电场，一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y=d处的M点，以速度v₀垂直于y轴射入电场，经x轴上处的N点进入第四象限，在第四象限适当区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，已知此磁场仅分布在一个圆形区域内（图中未画出），粒子进入磁场后，最后以垂直于y轴的方向射出磁场，不计粒子重力。求：

（1）电场强度的大小E；

（2）粒子在N点时的速度大小和方向；

（3）粒子在磁场中运动时间；

（4）圆形区域的最小面积。

Answer

（1）；（2）2v0，与x轴的夹角为θ=60°；（3）；（4）3πm2v02/ q2B2

【解析】

试题分析：粒子的运动轨迹如右图所示

（1）设粒子在电场中运动的时间为t1，x方向有2h=v0t1，y方向有h=at12，，根据牛顿第二定律有Eq=ma，解得：E=；

（2）设粒子进入磁场时速度为v，根据动能定理qEh=mv2-mv02，解得v=2v0，速度v与x轴的夹角为θ，则 cosθ==，即θ=60°。

（3）粒子在磁场中运动时间t=T=

（4）根据牛顿第二定律Bqv=，解得：r=；由几何关系得最小圆的半径R=rsin60°=r，最小圆的面积 s=πR2，最小圆的面积s=3πm2v02/ q2B2

考点：带电粒子在组合场中的运动

【名师点睛】本题考查了带电粒子在匀强电场中的类平抛运动，在磁场中的匀速圆周运动，对数学的几何能力要求较高，关键画出粒子的轨迹图，结合牛顿第二定律以及向心力等知识进行求解．（1）粒子先垂直进入电场做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解场强E的大小；（2）根据动能定理可求出粒子进入进入磁场时的速度v．进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求解轨道半径r；（3）粒子从P（2h，0）点进入该圆形匀强磁场区域，最后以垂直于y轴的方向射出该磁场，由几何知识得到速度v与x轴的夹角．最小的磁场区域是以入射点和出射点为直径的圆．根据几何关系求解．