Question

如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ．均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小）．由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）．两金属棒与导轨保持良好接触，不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g．

（1）若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v₁，在水平导轨上沿运动方向滑行一段距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；

（2）在（1）问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电量；

（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v₂在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．（提示：）

Answer

（1）ef棒上产生的热量为；

（2）通过ab棒某横截面的电量为．

（3）此状态下最强磁场的磁感应强度是，磁场下ab棒运动的最大距离是．

【解析】【解析】
（1）设ab棒的初动能为Ek，ef棒和电阻R在此过程产生热量分别为Q和Q1，有

Q+Q1=Ek ①

且Q=Q1 ②

由题意 Ek= ③

得 Q= ④

（2）设在题设的过程中，ab棒滑行的时间为△t，扫过的导轨间的面积为△S，通过△S的磁通量为△Φ，ab棒产生的电动势为E，ab棒中的电流为I，通过ab棒某截面的电荷量为q，则

E= ⑤

且△Φ=B△S ⑥

电流 I= ⑦

又有 I= ⑧

由图所示，△S=d（L﹣dcotθ） ⑨

联立⑤～⑨，解得：q= （10）

（3）ab棒滑行距离为x时，ab棒在导轨间的棒长Lx为：

Lx=L﹣2xcotθ （11）

此时，ab棒产生的电动势Ex为：E=Bv2Lx （12）

流过ef棒的电流Ix为 Ix= （13）

ef棒所受安培力Fx为 Fx=BIxL （14）

联立（11）～（14），解得：Fx= （15）

有（15）式可得，Fx在x=0和B为最大值Bm时有最大值F1．

由题意知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F1为最大值的受力分析如图所示，

图中fm为最大静摩擦力，有：

F1cosα=mgsinα+μ（mgcosα+F1sinα） （16）

联立（15）（16），得：Bm= （17）

Bm就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．

有（15）式可知，B为Bm时，Fx随x增大而减小，x为最大xm时，Fx为最小值，如图可知 F2cosα++μ（mgcosα+F2sinα）=mgsinα （18）

联立（15）（17）（18），得

xm=

答：（1）ef棒上产生的热量为；

（2）通过ab棒某横截面的电量为．

（3）此状态下最强磁场的磁感应强度是，磁场下ab棒运动的最大距离是．

【点评】本题是对法拉第电磁感应定律的考查，解决本题的关键是分析清楚棒的受力的情况，找出磁感应强度的关系式是本题的重点．