Question

如图在xoy平面内有平行与x轴的两个足够大的荧光屏M、N，它们的位置分别满足y=l和y=0，两屏之间为真空区域，坐标原点O有一放射源不断沿y轴正方向向真空区域内发射带电粒子，已知带电粒子有两种。为探索两种粒子的具体情况，我们可以在真空区域内控制一个匀强电场和一个匀强磁场，电场的电场强度为E，方向与x轴平行，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xoy平面，试验结果如下：如果让电场和磁场同时存在，我们发现粒子束完全没有偏转，仅在M屏上有一个亮点，其位置在S（0，l）；如果只让磁场存在，我们发生仅在N屏上出现两个亮点，位置分别为P（-2l，0）、Q（，0），由此 我们可以将两种粒子分别叫做P粒子和Q粒子。已知粒子间的相互作用和粒子重力可以忽略不计，试求（坐标结果只能用l表达）：

（1）如果只让磁场存在，但将磁场的磁感应强度减为，请计算荧光屏上出现的所有点的位置坐标；

（2）如果只让电场存在，请计算荧光屏上出现的所有亮点的位置坐标；

（3）如果只让磁场存在，当将磁场的磁感应强度变为时，两种粒子在磁场中运动时间相等，求k的数值；

Answer

（1）P粒子亮点位置，而Q粒子仍打在N屏上，易得亮点位置（l，0）（2）P、Q两粒子打在屏上的位置坐标分别为（3）

【解析】

试题分析：（1）当磁场B和电场E同时存在时，两种粒子都受力平衡，都满足：

所以两种粒子速度相同都为： ①

当仅存在磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，洛仑兹力充当向心力，两种粒子都满足：

得： ②

当磁场强度为B时，P粒子的轨道半径，Q粒子轨道半径为： ③

由②可知当磁场为B1减半时，两粒子做圆周运动的半径都加倍，此时有：

此时P粒子将打在M屏上，由几何关系：

所以P粒子亮点位置，而Q粒子仍打在N屏上，易得亮点位置（l，0）

（2）由上问①②③式，可得两粒子的荷质比及其与E、B的关系，对P、Q分别有：

④， ⑤

当仅存在电场时，P粒子将向右偏，y方向分运动为匀速直线运动：⑥

x方向分运动为受电场力下的匀加速直线运动，有： ⑦ ⑧

结合④⑥⑦可得： ⑨

由①④⑨可得：

同理可以求得Q粒子在-x方向的偏转位移为：

故P、Q两粒子打在屏上的位置坐标分别为．

（3）由②和③可以得出结论，不论磁场为多少，P、Q两粒子的轨道半径不变．因为两粒子速度大小相等，所以要想两粒子运动时间相等，即运动弧长相等，两粒子运动的圆弧圆心角之比必须为．

如右图粒子打在M屏上时，其运动轨迹圆弧圆心角（锐角）与半径R满足，不可能满足和．所以两粒子都打在M屏上不可能满足要求．两粒子都打在N屏上，圆心角都为π也不能满足要求．所以结果必然为P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以，而．

由几何关系易得此时，结合②③可求得此时：；

考点：考查了带电粒子在电磁场中的运动

【名师点睛】当磁场B和电场E同时存在时，两种粒子都受力平衡，据此求出粒子的速度，根据粒子圆周运动的表达式求出将磁场的磁感应强度减为时圆周运动半径与原来圆周运动半径的关系，由几何知识求出亮点的位置坐标；如果只让电场存在，粒子做类平抛运动，根据运动的合成与分解列方程求解；不论磁场为多少，P、Q两粒子的轨道半径不变．因为两粒子速度大小相等，所以要想两粒子运动时间相等，即运动弧长相等，两粒子运动的圆弧圆心角之比必须为，据此进行分析