Question

如图所示，一个质量为m的小孩在平台上以加速度a做匀加速助跑，目的是抓住在平台右端的、上端固定的、长度为L的轻质悬绳，并在竖直面内做圆周运动．已知轻质绳的下端与小孩的重心在同一高度，小孩抓住绳的瞬间重心的高度不变，且无能量损失．若小孩能完成圆周运动，则：

（1）小孩抓住绳的瞬间对悬线的拉力至少为多大？

（2）小孩的最小助跑位移多大？

（3）设小孩在加速过程中，脚与地面不打滑，求地面对脚的摩擦力大小以及摩擦力对小孩所做的功．

Answer

（1）6mg

（2）

（3）ma，零

【解析】

试题分析：（1）小孩能完成竖直面内的圆周运动，则在最高点最小的向心力等于小孩所受的重力，在最高点和最低点根据牛顿第二定律列式，小孩在竖直面内做圆周运动，机械能守恒，依据机械能守恒定律列式，联立方程即可求解；

（2）小孩在水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学基本公式即可求解；

（3）由牛顿运动定律可求摩擦力大小，小孩在加速过程中，脚与地面不打滑，地面对小孩的摩擦力位移为零，所以摩擦力对小孩做功为零．

【解析】
（1）小孩能完成竖直面内的圆周运动，则在最高点最小的向心力等于小孩所受的重力．设小孩在竖直面内最高点运动的速度为v2，依据牛顿第二定律小孩在最高点有：mg=m

设小孩在最低点运动的速度为v1，小孩抓住悬线时悬线对小孩的拉力至少为F，

依据牛顿第二定律小孩在最低点有：F﹣mg=m

小孩在竖直面内做圆周运动，依据机械能守恒定律可得，mv22+2mgL=mv12

联立以上三式解得：F=6mg，v12=5gL．

依据牛顿第三定律可知，小孩对悬线的拉力至少为6mg．

（2）小孩在水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据题意，小孩运动的加速度为a，末速度为v1，根据匀变速直线运动规律，v12=2ax

解得：x==

（3）由牛顿运动定律可知摩擦力大小f=ma

由于地面对小孩的摩擦力位移为零，所以摩擦力对小孩做功为零．

答：（1）小孩抓住绳的瞬间对悬线的拉力至少为6mg；

（2）小孩的最小助跑位移为；

（3）地面对脚的摩擦力大小为ma，摩擦力对小孩所做的功为零．

【点评】本题主要考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律以及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析小孩的运动过程及受力情况，难度适中．