Question

如图所示，一半径R=0.2m的水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块．当圆盘转动的角速度逐渐增大到某一数值时，滑块刚好从圆盘边缘处滑落，进入轨道ABC．已知AB段为光滑的圆弧形轨道，轨道半径r=2.5m，B点是圆弧形轨道与水平地面的相切点，A点与B点的高度差h=1.2m；倾斜轨道BC与圆轨道AB对接且倾角为37°，滑块与圆盘及BC轨道间的动摩擦因数均为μ=0.5，滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计滑块在A点和B点处的机械能损失，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．

（1）求滑块刚好从圆盘上滑落时，圆盘的角速度；

（2）求滑块到达弧形轨道的B点时对轨道的压力大小；

（3）滑块从到达B点时起，经0.6s正好通过C点，求BC之间的距离．

Answer

（1）滑块刚好从圆盘上滑落时，圆盘的角速度为5rad/s；

（2）滑块到达弧形轨道的B点时对轨道的压力大小为20N；

（3）滑块从到达B点时起，经0.6s正好通过C点，BC之间的距离为1.24m．

【解析】

试题分析：（1）滑块做匀速圆周运动，指向圆心的静摩擦力力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界角速度；

（2）先求出A点的速度，再根据机械能的表达式求解出B点的速度，进而在B点，由牛顿第二定律求解轨道对滑块的支持力，再求解压力；

（3）对滑块受力分析，分别求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根据运动学公式求解出BC间的距离．

【解析】
（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，静摩擦力充当向心力，由牛顿第二定律，

可得：μmg=mω2R

代入数据解得：ω==rad/s=5rad/s；

（2）滑块在A点时的速度：vA=ωR=5×0.2m/s=1m/s

滑块在从A到B的运动过程中机械能守恒：mgh+mvA2=mvB2

解得：vB==m/s=5m/s

在B点，由牛顿第二定律，可得：FN﹣mg=m

解得：FN=m+mg=1.0×（+10）N=20N，滑块对轨道的压力大小为20N．

（3）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a1=g（sin37°+μcos37°）=10m/s2

滑块沿BC段向上运动的时间：t1==0.5s＜0.6s 故滑块会返回一段时间

向上运动的位移：S1==1.25m

返回时的加速度大小：a2=g（sin37°﹣μcos37°）=2m/s2

S2=a2（t﹣t1）2=0.01m

BC间的距离：sBC=S1﹣S2=1.24m．

答：

（1）滑块刚好从圆盘上滑落时，圆盘的角速度为5rad/s；

（2）滑块到达弧形轨道的B点时对轨道的压力大小为20N；

（3）滑块从到达B点时起，经0.6s正好通过C点，BC之间的距离为1.24m．

【点评】本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．