Question

如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为圆心、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v₀沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场（磁场从t=0时刻开始变化，且以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与x轴夹角也为30°．求：

（1）电子进入圆形磁场区域时的速度大小（请作出电子飞行的轨迹图）；

（2）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；

（3）写出圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小、磁场变化周期T各应满足的表达式．

Answer

（1）电子进入圆形区域时的速度大小是，轨迹如图所示；

（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是；

（3）写出圆形区域磁场的变化周期表达式为T=（n=1，2，3…）、磁感应强度B0的大小表达式是得 B0=（n=1，2，3…）．

【解析】

试题分析：（1）电子在电场中作类平抛运动，离开电场时电子的速度方向与x轴夹角30°，=cos30°，可求得电子进入圆形区域时的速度v．

（2）运用运动的分解法研究可知：电子竖直方向上做初速度为零的匀加速运动，vy=v0tan30°=at=t，水平方向t=，联立可求出E．

（3）在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°，由几何知识得到在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于电子的轨迹半径R，由题意，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：=n•R=2L，由牛顿第二定律得到半径R=，联立得到磁感应强度B0的大小表达式．电子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求，应满足的时间条件：=，而T=，可求得T的表达式．

【解析】
（1）电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，

由速度关系：=cos30°

解得：v=

轨迹如图所示：

（2）由速度关系得 vy=v0•tan30°=v0

在竖直方向 a= vy=at=•

解得 E=

（3）如图所示，在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，所以，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：

=n•R=2L

电子在磁场作圆周运动的轨道半径 R==

得 B0=（n=1，2，3…）

若粒子在磁场变化的半个周期恰好转过圆周，同时MN间运动时间是磁场变化半周期的整数倍时，可使粒子到达N点并且速度满足题设要求．应满足的时间条件：= T=T运=

代入T的表达式得：T=（n=1，2，3…）

答：（1）电子进入圆形区域时的速度大小是，轨迹如图所示；

（2）0≤x≤L区域内匀强电场的场强大小是；

（3）写出圆形区域磁场的变化周期表达式为T=（n=1，2，3…）、磁感应强度B0的大小表达式是得 B0=（n=1，2，3…）．

【点评】本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要抓住周期性，根据几何关系求解电子的半径满足的条件．