Question

如图所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B，C的连线水平．质量为m的带正电小球从B点正上方的A点自由下落A，B两点间距离为4R．从小球（小球直径小于细圆管直径）进人管口开始，整个空间中突然加上一个斜向左上方的匀强电场，小球所受电场力在竖直方向上的分力方向向上，大小与重力相等，结果小球从管口 C处离开圆管后，又能经过A点．设小球运动过程中电荷量没有改变，重力加速度为g，求：

（1）小球到达B点时的速度大小；

（2）小球受到的电场力大小；

（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力．

Answer

（1）小球到达B点时的速度大小是2；

（2）小球受到的电场力大小；

（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力大小为3mg，方向水平向右．

【解析】

试题分析：（1）小球从A开始自由下落到到达管口B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，可求出小球到达B点时的速度大小；

（2）将电场力分解为水平和竖直两个方向的分力，小球从B到C的过程中，水平分力做负功，根据动能定理得到水平分力与B、C速度的关系．小球从C处离开圆管后，做类平抛运动，竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则两个方向的位移，由运动学公式和牛顿第二定律结合可水平分力．竖直分力大小等于重力，再进行合成可求出电场力的大小．

（3）小球经过管口C处时，由电场力的水平分力和管子的弹力的合力提供向心力，由牛顿运动定律求解球对圆管壁的压力．

【解析】
（1）小球从A开始自由下落到到达管口B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则有：

mg•4R=

解得，

（2）设电场力的水平分力和竖直分力分别为Fx和Fy，则 Fy=mg，方向竖直向上．小球从B到C的过程中，电场力的水平分力Fx做负功，根据动能定理得

﹣Fx•2R=

小球从C处离开圆管后，做类平抛运动，竖直方向做匀速运动，水平方向做匀加速运动，则：

y=4R

x=2R==

t=

联立解得，Fx=mg

故电场力的大小为 F=qE==mg

（3）小球经过管口C处时，由电场力的水平分力和管子的弹力的合力提供向心力，由牛顿运动定律得

Fx+N=m 得 N=3mg，方向向左

根据牛顿第三定律可知，小球经过管口C处时对圆管壁的压力大小N′=N=3mg，方向水平向右．

答：

（1）小球到达B点时的速度大小是2；

（2）小球受到的电场力大小；

（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力大小为3mg，方向水平向右．

【点评】本题运用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式结合研究圆周运动和类平抛运动，并采用正交分解求解电场力，常规方法，难度适中．