Question

某电视台在游乐园举行家庭搬运砖块比赛活动，比赛规则是向沿水平面做直线运动的小车上搬放砖块，每次只能将一块砖无初速度（相对于地面、地放到车上，车停止时立即停止搬运，以车上砖块多少决定胜负．已知小车的上表面光滑且足够长，且小车与地面的动摩擦因数不变，比赛过程中车始终受到水平恒定的牵引力F=20N的作用，未放砖块时车以v₀=3.0m/s匀速前进．某家庭上场比赛时每隔T=0.8s搬放一块砖．已知每块砖的质量 m=0.8kg．从放上第一块砖开始计时，图乙中画出了0﹣﹣0.8s内车运动的v一t图象．整个过程中砖始终在车上未滑下，取g=10m/s²．求：

（Ⅰ）小车的质量及车与地面的动摩擦因数

（Ⅱ）当小车停止时，车上有多少块砖？

Answer

（1）小车的质量为8 kg，与地面间的动摩擦因数为0.25．

（2）当小车停止时，车上有5块砖．

【解析】

试题分析：（1）据题，小车的上表面光滑，砖块放到小车上后水平不受外力，相对地面始终保持静止状态．小车原来匀速前进，放上砖块后小车开始做匀减速运动，根据牛顿第二定律得出小车的加速度与动摩擦因数的关系，由v﹣t图象斜率大小求出加速度，联立求解小车的质量及车与地面的动摩擦因数．

（2）根据牛顿第二定律分别求出放上第二块砖、第三块砖、…小车的加速度，由速度公式求出每一个0.8s内小车速度的改变量，总结规律，得出放上第n块砖后0.8s内小车的速度改变量，得出小车速度减至零时改变量的表达式，求出当小车停止时，车上有多少块砖．

【解析】
（1）小车的上表面光滑，砖块相对地面始终保持静止状态，放上砖块后小车开始做匀减速运动，设小车与地面间的动摩擦因数为μ，未放砖块时μMg=F

放上第一块砖后，对小车有 F﹣μ（m+M）g=Ma1

即﹣μmg=Ma1

由v﹣t图象可知，△v1=v1﹣v0=（2.8﹣3.0）m/s=﹣0.2 m/s

放上第一块砖后小车的加速度为a1=﹣0.25 m/s2

解得μ=0.25，M=8 kg．

（2）同理，放上第二块砖后，对小车有﹣2μmg=Ma2

代入数据解得a2=﹣0.5 m/s2

0.8 s内速度改变量△v2=a2T=﹣0.4 m/s

放上第三块砖后小车的加速度为a3=﹣3×0.25 m/s2=﹣0.75 m/s2

0.8 s内速度改变量△v3=﹣3×0.2 m/s=﹣0.6 m/s

则放上第n块砖后小车的加速度an=﹣n×0.25 m/s2（n=1，2，3，…）

0.8 s内速度改变量△vn=﹣n×0.2 m/s（n=1，2，3，…）

所以△v=△v1+△v2+△v3+…+△vn=﹣（1+2+3+…+n）×0.2 m/s

而△v=0﹣3 m/s=﹣3 m/s，

联立解得n=5．

即当小车停止时，车上有5块砖．

答：（1）小车的质量为8 kg，与地面间的动摩擦因数为0.25．

（2）当小车停止时，车上有5块砖．

【点评】本题分析受力情况和运动情况是基础，难点是运用数学归纳法总结规律，得出小车速度改变量的通项．