Question

在如图所示xoy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注）内有垂直于纸面向外的匀强磁场，在x轴下方有沿+y方向的匀强电场，电场强度为E．将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（0，﹣a）点由静止释放．由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴后速度大小变为穿过前的倍．

（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B₀最小是多少？

（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，求粒子在磁场中的运动时间；

（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B₀的2倍，求粒子运动的总路程．

Answer

（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B0最小是；

（2）在磁感应强度等于第（1）问中B0的情况下，粒子在磁场中的运动时间；

（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B0的2倍，粒子运动的总路程（π+）a．

【解析】

试题分析：（1）粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B0．由几何知识求出半径，然后由牛顿第二定律确定磁场强度；

（2）画出粒子的运动轨迹，由t=T求运动时间之和；

（3）由数学归纳法求出当粒子第n次进入磁场时，其在磁场中做圆周运动的轨道半径和前进的路程的表达式，然后由等比数列的求和公式求出总路程．

【解析】
（1）设粒子到O点时的速度为v0，由动能定理有：

qEa=mv02

解得：v0=

粒子经过O点后，速度为v1，v1=v0=

如图甲所示，粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B0．设粒子轨道半径为R1，有：

R1=atan30°=a

由：qB0v1=m

得：B0==

（2）如图甲，粒子经O1点进入电场区域做匀减速运动，后又加速返回，再次进入磁场时的速率v2=（）2v1=v1

此时粒子做圆周运动的半径：R2=R1=a

其运动轨迹如图甲所示，此后不再进入磁场．由几何关系可知，∠MO1′O1=60°

则粒子在磁场中运动的时间为：t=+=•+•=

（3）若B=2B0，粒子的运动情况如图乙所示，

粒子经过O点第一次进入磁场时的速率仍为v1，在磁场中做圆周运动的半径记为R1′，由第（1）问可知，v1=，R1′=

粒子从O1点穿过x轴进入电场时速率为v1′=v1=，运动到P1点后返回，则由动能定理：

﹣qE=0﹣mv1′2

解得：=

当粒子第二次进入磁场时的速率：v2=v1′==

做圆周运动的半径为：R2′=

粒子从O2点穿过x轴进入电场时速率为：v2′=v2=，

运动到P2点后返回，则由动能定理：﹣qE=0﹣mv2′2

解得：=

依此类推可知，当粒子第n次进入磁场时，其在磁场中做圆周运动的轨道半径为Rn′=，再进入电场中前进的距离=

因此，粒子运动的总路程为 s=π（R1+R2+…Rn）+2（++…+）+=π（++…+）+2（++…+）+a=（π+）a

答：（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B0最小是；

（2）在磁感应强度等于第（1）问中B0的情况下，粒子在磁场中的运动时间；

（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B0的2倍，粒子运动的总路程（π+）a．

【点评】本题作为压轴题涉及的每一问之间有一定梯度，第一问和第二问为常规题型，只要有一定的物理功底即可拿到分数，第三问的难度具有一定的选拔性，若想成为优中之优一定要重视数学方法在物理中的应用．