Question

一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，两轻杆与转轴间夹角均为30°，小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均为m，c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，且与轴上P点、环c相连．当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到，环c静止在O处，此时弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力．弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g．求：

（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω₁；

（2）如图乙所示，该装置以角速度ω² （未知）匀速转动时，弹簧长为，求此时杆对小球的弹力大小；

（3）该装置转动的角速度由ω₁缓慢变化到ω₂，求该过程外界对转动装置做的功．

Answer

（1）．

（2）4mg；

（3）mgL

【解析】

试题分析：（1）细线刚好拉直而无张力时，球做圆周运动的向心力由重力和杆的支持力的合力提供，由牛顿第二定律和向心力公式求装置转动的角速度ω1．

（2）弹簧长度从L缓慢缩短为L的过程中，弹簧的弹力大小不变，对球a，根据平衡平衡求杆对小球的弹力大小．

（3）球a做匀速圆周运动，由向心力公式求出角速度为ω2时的线速度．由功能关系求解该过程外界对转动装置做的功．

【解析】
（1）小球做匀速圆周运动，由向心力公式有：

mgtan60°=mω12Lsin30°

解得：角速度ω1=

（2）对环c．由竖起方向力平衡得：2F线cos60°=mg+F弹；

由题，弹簧拉伸和压缩的形变量相同，则F弹=mg

对球a：竖直方向有 FNsin30°=mg+2F线sin30°

解得，弹力 FN=4mg

（3）球a做匀速圆周运动，根据向心力公式有：

FNcos30°+F线cos30°=mω22Lcos30°

a球的线速度 v2=ω2Lcos30°

整个过程弹簧弹性势能的变化量为零，弹簧弹力做的功为零，对系统，由功能关系得：

W=△Ep+△Ek=mg（）+2mg（﹣）+2×[（ω2Lcos30°）2﹣（ω1）2]=mgL

答：

（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度ω1是．

（2）此时杆对小球的弹力大小是4mg；

（3）该装置转动的角速度由ω1缓慢变化到ω2，该过程外界对转动装置做的功是mgL．

【点评】本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、共点力平衡和胡克定律的运用，当装置转动时，抓住小环平衡，小球在竖直方向上平衡，水平方向上的合力提供向心力进行求解．