Question

如图所示，在水平面上有一弹簧，其左端与墙壁相连，O点为弹簧原长位置，O点左侧水平面光滑．水平段OP长L=1m，P点右侧一与水平方向成θ=30°的足够长的传送带与水平面在P点平滑连接，皮带轮逆时针转动速率为3m/s．一质量为1kg可视为质点的物块A压缩弹簧（与弹簧不栓接），使弹簧获得弹性势能E_p=9J，物块与OP段动摩擦因素μ₁=0．1．另一与A完全相同的物块B停在P点，B与传送带的动摩擦因素μ₂=，传送带足够长．A与B的碰撞时间不计，碰后A、B交换速度，重力加速度g=10m/s²，现释放A，求：

（1）物块A、B第一次碰撞前瞬间，A的速率v₀；

（2）从A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与传送带之间由于摩擦而产生的热量；

（3）A、B能够碰撞的总次数．

Answer

（1）物块A、B第一次碰撞前瞬间，A的速率为4m/s；

（2）从A、B第一次碰撞后到第二次碰撞前，B与传送带之间由于摩擦而产生的热量为12．25J；

（3）A、B能够碰撞的总次数为6次．

【解析】

试题分析：（1）从释放到与B碰撞前的过程，对A和系统运用功能关系列式，即可求解物块A与B第一次碰撞前的速度；

（2）根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后A、B的速度．B获得速度后碰后B沿皮带轮向上匀减速运动直至速度为零，然后向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合，分段求出时间和位移；最后结合公式Q=f•△S求解热量．

（3）B与A第二次碰撞，两者速度再次互换，此后A向左运动再返回时与B碰撞，B沿皮带轮向上运动再原速返回，重复这一过程直至两者不再碰撞．每一次过程中损失的机械能为2μ1mgl，根据整个过程能量守恒列式求解A、B碰撞的次数．

【解析】
（1）设物块质量为m，A与B第一次碰前的速度为v0，则：

解得：v0=4m/s

（2）设A、B第一次碰撞后的速度分别为vA、vB，则vA=0，vB=4m/s，碰后B沿传送带向上匀减速运动直至速度为零，加速度大小设为a1，则：mgsinθ+μ2mgcosθ=ma1，解得：a1=gsinθ+μ2gcosθ=10m/s2

运动的时间

位移=0．8m

此过程相对运动路程△s1=vt1+x1=2m

此后B反向加速，加速度仍为a1，与传送带共速后匀速运动直至与A再次碰撞，加速时间为=0．3s

位移为

此过程相对运动路程△s2=vt2﹣x2=0．45m

全过程生热Q=μ2mgcosθ（△s1+△s2）=12．25J

（3）B与A第二次碰撞，两者速度再次互换，此后A向左运动再返回与B碰撞，B沿传送带向上运动再次返回，每次碰后到再次碰前速率相等，重复这一过程直至两者不再碰撞．

则对A、B和弹簧组成的系统，从第二次碰撞后到不再碰撞：=2nμ1mgL

解得第二次碰撞后重复的过程数为n=2．25

所以碰撞总次数为N=2+2n=6．5=6次（取整数）