Question

如图甲所示，一长为l=1 m的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。给系统输入能量，使小球通过最高点的速度不断加快，通过传感器测得小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系如图乙所示，重力加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力，请分析并回答以下问题：

（1）若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度有何要求？（用题中给出的字母表示）。

（2）请根据题目及图像中的条件求出小球质量m的值。（g取10 m/s²）

（3）求小球从图中a点所示状态到图中b点所示状态的过程中，外界对此系统做的功。

（4）当小球达到图乙中b点所示状态时，立刻停止能量输入。之后的运动过程中，在绳中拉力达到最大值的位置，轻绳绷断，求绷断瞬间绳中拉力的大小。

Answer

（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】

试题分析：（1）小球刚好通过最高点做完整的圆周运动要求在最高点受力满足：

因此小球过最高点的速度要满足：。

（2）小球在最高点时有： 又因为：，

所以绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系式为：

由图像知，当时，，代入上式得到：；又已知，则小球的质量。

（3）由知：图线的斜率值为，因此对应状态b，，可求出小球在最高点的动能，由 ，得到：。

（或：由，将、、代入，可求得：）

对小球从状态a到状态b的过程，有：外界对系统做的功为。

（4）在停止能量输入之后，小球在重力和轻绳拉力作用下在竖直面内做圆周运动，运动过程中机械能守恒。当小球运动到最低点时，绳中拉力达到最大值。

设小球在最低点的速度为v，对从b状态开始至达到最低点的过程应用机械能守恒定律，有：；

设在最低点绳中拉力为Fm，由牛顿第二定律有：

两式联立解得：。

即绷断瞬间绳中拉力的大小为。

考点：机械能守恒定律、向心力

【名师点睛】本题主要考查了圆周运动向心力公式的直接应用，要求同学们能根据图象获取有效信息，难度适中．熟练运用牛顿第二定律和机械能守恒定律也是解答此题的关键。