Question

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是半径为 r=7.5m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由下落，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于重力的倍．g取10m/s²．求：

（1）H的大小；

（2）试讨论此球能否达到BDO轨道的O点，并说明理由；

（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是多少．（提示：圆的方程x²+y²=R²）

Answer

（1）H的大小为10m．

（2）由于H＞H0，所以小球可以通过最高点O点．

（3）小球从H高处自由落下沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是17.3m/s

【解析】

试题分析：（1）小球从H高处自由落下，进入轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力作用，设小球通过B点时的速度为vB，通过AB轨道末端B点时轨道对小球的支持力为FB，根据牛顿第二定律和向心力公式得：FB﹣mg=m，

则：FB=mg，

小球从P点落下沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有：mg（H+R）=mvB2，

解得：H=R=10m．

（2）设小球沿竖直轨道运动能够到达最高点O的最小速度为vmin，由牛顿第二定律得：

mg=m，

小球至少应从H0高处落下，下落过程，由机械能守恒定律得：mgH0=mvmin2，

解得：H0=R，

由于H＞H0，所以小球可以通过最高点O点．

（3）小球从H高处自由落下沿轨道运动，通过O点时的速度为v0，由机械能守恒定律得：mgH=mv02，

解得：v0=10m/s，

小球通过O点后做平抛运动，设小球经过时间t落到AB圆弧轨道上，速度大小为v，根据平抛运动规律可知：

水平方向上有：x=v0t，

竖直方向上：y=gt2，

且x2+y2=R2，v=，

联立解得t=1s，（负解舍去）v=10m/s=17.3m/s；