Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）

（1）求电压U₀的大小．

（2）求t₀时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．

（3）何时射入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．

Answer

（1）电压U0的大小为；

（2）t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为；

（3）在t=2t0时刻进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短，最短时间为

【解析】

试题分析：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，

则有 y=l，x=l，

电场强度：E=…①，

由牛顿第二定律得：Eq=ma…②，

偏移量：y=at02…③

由①②③解得：U0=…④．

（2）t0时刻进入两极板的带电粒子，前t0时间在电场中偏转，后t0时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．

带电粒子沿x轴方向的分速度大小为：vx=v0=…⑤

带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为：vy=a•t0…⑥

带电粒子离开电场时的速度大小为：v=…⑦

设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，

由牛顿第二定律得：qvB=m…⑧，

由③⑤⑥⑦⑧解得：R=…⑨；

（3）在t=2t0时刻进入两极板的带电粒子，在电场中做类平抛运动的时间最长，飞出极板时速度方向与磁场边界的夹角最小，

而根据轨迹几何知识可知，轨迹的圆心角等于粒子射入磁场时速度方向与边界夹角的2倍，

所以在t=2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．

带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为：vy′=at0…⑩，

设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则：tanα=，

由③⑤⑩解得：α=，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，

圆弧所对的圆心角为：2α=，

所求最短时间为：tmin=T，

带电粒子在磁场中运动的周期为：T=，

联立以上两式解得：tmin=；