Question

如图所示，竖直平面内的半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点．质量为1kg的小滑块（可视为质点）沿水平面向左滑动，经过A点时的速度v_A=6.0m/s．已知半圆形轨道半径R=0.40m，滑块与水平面间的动摩擦因数μ=0.50，A、B两点间的距离L=1.10m．取重力加速度g=10m/s²．

（1）求滑块从A运动到B点所需的时间及运动到B点的速度的大小v_B；

（2）如果BC半圆轨道是光滑的，求滑块运动到C点时速度的大小v_C及C点受到的压力大小F_C．

（3）如果半圆轨道是粗糙的，滑块滑到BC轨道上的P时刚好和轨道分离（P点未标出），P点距B点的竖直高度为h=0.6m，求滑块从A点开始到P点过程中，克服摩擦力所做的功W_f．

Answer

（1）滑块从A运动到B点所需的时间是0.2s，运动到B点的速度的大小vB是5m/s；

（2）如果BC半圆轨道是光滑的，求滑块运动到C点时速度的大小vC是3m/s，C点受到的压力大小FC是12.5J；

（3）滑块从A点开始到P点过程中，克服摩擦力所做的功Wf是13J

【解析】试题分析：（1）滑块从A运动到B的过程中，根据动能定理有：

﹣μmgL=﹣

代入数据解得：vB=5m/s

由L=得滑块从A运动到B点所需的时间为：t==0.2s

（2）滑块从B运动到C的过程中，取水平面为零势能平面，根据机械能守恒定律：

=+2mgR

代入数据解得：vC=3m/s

在C点，根据牛顿第二定律得：

mg+FC′=m

代入数据得：FC′=12.5N

由牛顿第二定律知：FC=FC′=12.5N

（3）设P点所在半径与竖直方向的夹角为θ，由几何知识可得：

cosθ===0.5，θ=60°

在P点，设滑块的速度为vP，由向心力公式得：

mgcosθ=m

滑块从A点开始到P点过程中，由动能定理得：

﹣mgh﹣Wf=﹣

联立解得，克服摩擦力所做的功为：Wf=13J

答：（1）滑块从A运动到B点所需的时间是0.2s，运动到B点的速度的大小vB是5m/s；

（2）如果BC半圆轨道是光滑的，求滑块运动到C点时速度的大小vC是3m/s，C点受到的压力大小FC是12.5J；

（3）滑块从A点开始到P点过程中，克服摩擦力所做的功Wf是13J．