Question

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是半径为 r=7．5m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点．一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由下落，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于重力的倍．g取10m/s²．求：

（1）H的大小；

（2）试讨论此球能否达到BDO轨道的O点，并说明理由；

（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是多少．（提示：圆的方程x²+y²=R²）

Answer

（1）10m（2）小可以通过最高点O点．（3）17．3m/s

【解析】

试题分析：（1）小球从H高处自由落下，进入轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力作用，设小球通过D点时的速度为，根据牛顿第二定律和向心力公式得： ，

又，

小球从P点落下沿光滑轨道运动的过程中，机械能守恒，有：，

解得：．

（2）设小球沿竖直轨道运动能够到达最高点O的最小速度为，由牛顿第二定律得：，

小球至少应从高处落下，下落过程，由机械能守恒定律得：，

解得：，

由于H＞H0，所以小球可以通过最高点O点．

（3）小球从H高处自由落下沿轨道运动，通过O点时的速度为，由机械能守恒定律得：，

解得：，

小球通过O点后做平抛运动，设小球经过时间t落到AB圆弧轨道上，速度大小为v，根据平抛运动规律可知：

水平方向上有：，

竖直方向上：，

且，，

联立解得，（负解舍去）；

考点：考查了动能定理、机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合

【名师点睛】根据牛顿第二定律求出小球在B点的速度，通过P到B点运用动能定理，求出H的大小．根据牛顿第二定律求出O点的最小速度，通过机械能守恒求出小球下落的至少高度，从而判断出球能否到达BDO轨道的O点．根据机械能守恒定律求出O点的速度，结合平抛运动的规律和几何关系求出平抛运动的时间，从而得出再次落到轨道上的速度大小．