Question

如图所示为某钢铁厂的钢锭传送装置，斜坡长为L=20m，高为h=2m，斜坡上紧排着一排滚筒。长为l=8m、质量为1×10³kgm的钢锭ab放在滚筒上，钢锭与滚筒间的动摩擦因数为μ=0．3，工作时由电动机带动所有滚筒顺时针匀速转动，使钢锭沿斜坡向上移动，滚筒边缘的线速度均为v=4m/s。假设关闭电动机的瞬时所有滚筒立即停止转动，钢锭对滚筒的总压力的大小近似等于钢锭的重力。取当地的重力加速度g=10m/s²。试求：

（1）钢锭从坡底（如图所示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶所需的最短时间。

（2）钢锭从坡底（如图所示位置）由静止开始运动，直到b端到达坡顶的过程中电动机至少要工作多长时间？

Answer

（1）4s （2）3．5s

【解析】试题分析:（1）分析可知，欲使b端到达坡顶所需要的时间最短，需要电动机一直工作，则钢轨先做匀加速直线运动，当它的速度等于滚筒边缘的线速度后，做匀速直线运动，钢锭开始受到的滑动摩擦力为：

f1=μmg=3×103N，

设斜坡与水平面的夹角为α，由牛顿第二定律有：f1-mgsinα=ma1

代入数据解得：a1＝2m/s2

钢锭做匀加速运动的时间：t1＝v/a＝2s，位移：

钢锭做匀速直线运动的位移：s2=L-l-s1=8m

做匀速直线运动的时间：t2＝s2/v＝2s

所需最短时间 t=t1+t2=4s

（2）要使电动机工作时间最短，钢锭的最后一段运动要关闭电动机，钢锭匀减速上升，b端到达坡顶时速度刚好为零．

匀减速上升时，由牛顿第二定律得：f1+mgsinα=ma2

代入数据解得：a2＝4m/s2

匀减速运动时间：t3＝v/a2＝1s

匀减速运动位移：

电动机至少要工作的时间：

考点：考查牛顿运动定律的综合应用；匀变速直线运动的位移与时间的关系．

【名师点睛】本题关键是明确钢轨的运动规律，然后分阶段根据牛顿第二定律求解加速度，再根据运动学公式列式求解．