Question

如图所示（俯视），MN和PQ是两根固定在同一水平面上的足够长且电阻不计的平行金属导轨．两导轨间距为L=0．2m，其间有一个方向垂直水平面竖直向下的匀强磁场B₁=5．0T。导轨上NQ之间接一电阻R₁=0．40，阻值为R₂=0．10的金属杆垂直导轨放置并与导轨始终保持良好接触。两导轨右端通过金属导线分别与电容器C的两极相连。电容器C紧靠着带小孔a（只能容一个粒子通过）的固定绝缘弹性圆筒。圆筒内壁光滑，筒内有垂直水平面竖直向下的匀强磁场B₂，O是圆筒的圆心，圆筒的内半径为r=0．40m。

（1）用一个大小恒为10N，平行于MN水平向左的外力F拉金属杆，使杆从静止开始向左运动求：当金属杆最终匀速运动时杆的速度大小；

（2）当金属杆处于（1）问中的匀速运动状态时，电容器C内紧靠极板且正对a孔的D处有一个带正电的粒子从静止开始经电容器C加速后从a孔垂直磁场B₂并正对着圆心O进入筒中，该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔a射出圆筒。已知粒子的比荷q/m=5×10⁷（C/kg），该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子重力和空气阻力，则磁感应强度B₂ 多大（结果允许含有三角函数式）。

Answer

（1）

（2）（ⅰ）情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为 得：

（ⅱ）情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为 将数据代式得

【解析】（1）金属杆先做加速度变小的加速运动，最终以最大速度匀速运动．设杆匀速运动时速度为v，

将已知数据代入得：

（2）设杆匀速运动时C两极板间的电压为U，带电粒子进入圆筒的速率为V．在磁场中作匀速圆周运动的半径为R，由于C与电阻R1并联，

据欧姆定律得，

据动能定理有，

带电粒子在磁场中作匀速圆周运动，

由于带电粒子与圆筒壁碰撞时无电量和能量损失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不变．速度方向总是沿着圆筒半径方向，4个碰撞点与小孔a恰好将圆筒壁五等分，粒子在圆筒内的轨迹具有对称性，由5段相同的圆弧组成，设每段轨迹圆弧对应的圆心角为，则由几何关系可得：

有两种情形符合题意（如图所示）：

（ⅰ）情形1：每段轨迹圆弧对应的圆心角为

得：

（ⅱ）情形2：每段轨迹圆弧对应的圆心角为

将数据代式得

考点：带电粒子在电场及磁场中的运动

【名师点睛】本题中金属杆的运动与汽车恒定功率起动类似，要会用动力学方法分析杆的运动情况．对于第2问，还可以研究带电粒子与圆筒碰撞n次的情况。