Question

如图所示，倾角 θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮 D，质量均为m=1kg 的物体A和B用一劲度系数k=240N/m 的轻弹簧连接，物体 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P挡住。用一不可伸长的轻绳使物体 A 跨过定滑轮与质量为M的小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环C位于Q处，绳与细杆的夹角α=53°，且物体B对挡板P的压力恰好为零。图中SD水平且长度为d=0．2m，位置R与位置Q关于位置S对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。现让环C从位置R由静止释放，且环C在下落过程中绳始终未松弛。sin37°=0．6，cos37°=0．8，g 取 10m/s2。求：

（1）小环 C 的质量 M；

（2）小环 C 通过位置 S 时的动能 E_k及环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功W_T；

（3）小环 C 运动到位置 Q 的速率 v．

Answer

（1）0．72kg（2）0．3J（3）2m/s

【解析】

试题分析：（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N

以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：T•cos53°=Mg

代入数据得：M=0．72kg

（2）由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力： F1=mgsinθ=1×10×sin37°=6N

弹簧的伸长量：△x1＝mgsinθ／k＝0．025m

当小环 C 通过位置 S 时Ａ下降的距离为xＡ＝＝0．05m

此时弹簧的压缩量△x2=xＡ-△x1=0．025m

由速度分解可知此时A的速度为零,所以小环C从R运动到S的过程中,初末态的弹性势能相等,对于小环C弹簧和A组成的系统机械能守恒有:

Mgdcotα+mgxＡsinθ=Ek

解得: Ek=1．38J

环从位置R运动到位置S的过程中,由动能定理可知:WT+ Mgdcotα= Ek

解得: WT=0．3J

⑶环从位置R运动到位置Q的过程中,对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒

Mg．（2dcotα）= vA =vcosα

两式联立可得: v=2m/s

考点：物体的平衡；胡克定律；能量守恒定律的应用

【名师点睛】本题考查动能定理以及功能关系的应用，解题的关键在于第二问，要注意在解答的过程中一定要先得出弹簧的弹性势能没有变化的结论，否则解答的过程不能算是完整的．