Question

如图所示，一足够长的水平传送带以速度v₀匀速运动，质量均为m的小物块P和小物块Q由通过滑轮组的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长．某时刻物块P从传送带左端以速度2v₀冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平．已知物块P与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，重力加速度为g，不计滑轮的质量与摩擦．求：

（1）运动过程中小物块P、Q的加速度大小之比；

（2）物块P刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量；

（3）若传送带以不同的速度v（0＜v＜2v₀）匀速运动，当v取多大时物块P向右冲到最远处时，P与传送带间产生的摩擦热最小？最小值为多大？

Answer

（1）2：1；

（2）0；

（3），

【解析】

试题分析：（1）由图可知，P与Q的位移关系始终满足P的位移是Q的位移的2倍，结合：求得加速度的比值；

（2）分别以P与Q为研究的对象，由牛顿第二定律求出加速度，然后结合运动学的公式，求出P与传送带的速度相等之前的位移；当P的速度与传送带相等后，分析摩擦力与绳子的拉力的关系，判断出P将继续减速，求出加速度，在结合运动学的公式求出位移，最后由功能关系求出机械能的该变量；

（3）结合（2）的解答过程，写出物体P相对于传送带的位移的表达式以及Q=fx相对，然后即可求出产生的最小的热量．

【解析】
（1）设P的位移、加速度大小分别为s1、a1，Q的位移、加速度大小分别为s2、a2，

因s1=2 s2，故a1=2a2

（2）对P有：μmg+T=ma1

对Q有：mg﹣2T=ma2

得：T=0.35mg，a1=0.6g

P先减速到与传送带速度相同，设位移为x1，

共速后，由于f=μmg＜mg，P不可能随传送带一起匀速运动，继续向右减速，

设此时P加速度为a1′，Q的加速度为

对P有：T﹣μmg=ma1′，对Q有：mg﹣2T=ma2’解得：a1′=0.2g

设减速到0位移为x2，

PQ系统机械能的改变量等于摩擦力对P做的功，△E=﹣μmgx1+μmgx2=0

（3）第一阶段P相对皮带向前，相对路程：

第二阶段相对皮带向后，相对路程：

摩擦产生的热Q=μmg（S1+S2）=

当时，

摩擦热最小

答：（1）运动过程中小物块P、Q的加速度大小之比是2：1；

（2）物块P刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量；

（3）若传送带以不同的速度v（0＜v＜2v0）匀速运动，当时物块P向右冲到最远处时，P与传送带间产生的摩擦热最小，最小值为

【点评】本题考查牛顿第二定律及功能关系，要注意正确掌握功能的转化关系，明确热量等于摩擦力与相对位移的乘积．