Question

如图所示，在纸面内有一绝缘材料制成的等边三角形框架DEF区域外足够大的空间中充满磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直于纸面向里。等边三角形框架DEF的边长为L，在三角形DEF内放置平行板电容器MN，N板紧靠DE边，M板及DE中点S处均开有小孔，在两板间紧靠M板处有一质量为m，电量为q(q>0)的带电粒子由静止释放，如图(a)所示。若该粒子与三角形框架碰撞时均无能量损失，且每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边。不计粒子的重力。

(1)若带电粒子能够打到E点，求MN板间的最大电压；

(2)为使从S点发出的粒子最终又回到S点，且运动时间最短，求带电粒子从S点发出时的速率v应为多大？最短时间为多少？

(3)若磁场是半径为Ⅱ的圆柱形区域，如图(b)所示（图中圆为其横截面），圆柱的轴线通过等边三角形的中心O，且.要使从S点发出的粒子最终能回到S点，带电粒子速度v的大小应为多少？

Answer

(1) (2) ,

(3)

【解析】（1）根据洛伦兹力提供向心力得：

粒子要经过一次偏转垂直打在E点应满足： ，

则E点的速度为

带电粒子在板间加速，则

解得：

（2）依题意粒子做圆周运动的轨道半径， （n=1，2，3…）
在磁场中粒子做圆周运动的速度 n=1，2，3…）
周期： ，与粒子速度无关，由粒子运动时间

得，粒子在磁场中偏转的角度最小时，运动的时间最短
此时n取1，
解得：
粒子以三角形的三个顶点为圆心运动，相邻两次碰撞的时间间隔为
第三次碰撞回到S点，则最短时间为 ；
（3）如图设E点到磁场区域边界的距离为L/,由题设条件可知

S点发射的粒子要回到S点就必须在磁场区域内运动，即满足： ，即

又知， （n=1，2，3，4，5，6…，）
当n=1时，

当n=2时，

当n=3时，

当n=4时，

所以，当n=3,4,5，……时满足题意；由于 ，代入上式可知

解得： （n=3,4,5，……）

点睛：解决本题的关键得出粒子在磁场中运动的半径通项表达式，确定半径为何值时恰好打在E点，何时能够回到S点，结合半径公式和周期公式进行求解．注意结合几何特性及半径与长度的关系，从而确定运动轨迹，这是解题的关键。