Question

某工地一传输工件的装置可简化为如图所示的情形，AB为一段足够大的圆弧固定轨道，圆弧半径R=5.6m，BC为一段足够长的水平轨道，CD为一段圆弧固定轨道，圆弧半径r=1m，三段轨道均光滑．一长为L=2m、质量为M=1kg的平板小车最初停在BC轨道的最左端，小车上表面刚好与AB轨道相切，且与CD轨道最低点处于同一水平面．一可视为质点、质量为m=2kg的工件从距AB轨道最低点h高处沿轨道自由滑下，滑上小车后带动小车也向右运动，小车与CD轨道左端碰撞（碰撞时间极短）后即被粘在C处．工件只有从CD轨道最高点飞出，才能被站在台面DE上的工人接住．工件与小车的动摩擦因数为μ=0.5，取g=10m/s²，，求:

（1）若h为2.8m，则工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为多大？

（2）要使工件能被站在台面DE上的工人接住h的取值范围

Answer

（1）40N；（2）

【解析】(1)工件从起点滑到圆弧轨道底端B点,设到B点时的速度为vB，根据动能定理：

工件做圆周运动，在B点，由牛顿第二定律得：

由①②两式可解得：N=40N     

由牛顿第三定律知,工件滑到圆弧底端B点时对轨道的压力为N′=N=40N     

(2)①由于BC轨道足够长,要使工件能到达CD轨道,工件与小车必须能达共速,设工件刚滑上小车时的速度为v0,工件与小车达共速时的速度为v1，假设工件到达小车最右端才与其共速，规定向右为正方向，则对于工件与小车组成的系统，由动量守恒定律得：

 mv0=(m+M)v1

由能量守恒定律得：

对于工件从AB轨道滑下的过程，由机械能守恒定律得：

代入数据解得：h1=3m.                        

②要使工件能从CD轨道最高点飞出,h1=3m为其从AB轨道滑下的最大高度,设其最小高度为h′,刚滑上小车的速度为v′0,与小车达共速时的速度为v′1,刚滑上CD轨道的速度为v′2，规定向右为正方向，由动量守恒定律得：

mv′0=(m+M)v′1…⑥

由能量守恒定律得：

工件恰好滑到CD轨道最高点，由机械能守恒定律得：

工件在AB轨道滑动的过程，由机械能守恒定律得：

联立。⑥⑦⑧⑨,代入数据解得：h′=m     

综上所述,要使工件能到达CD轨道最高点,应使h满足： m