Question

由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二．若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G．“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．求

（1）“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？

（2）“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？

Answer

（1） （2）

【解析】（1）根据万有引力提供向心力得：

地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即：

联立解得：

（2）令地球的密度为ρ，对地球表面的物体：

由于地球的质量为： ，所以重力加速度的表达式可写成：

根据万有引力提供向心力 ，

“天宫一号”的加速度为

根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R﹣d）的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度g2= πGρ（R﹣d）．

所以有

所以