Question

如图所示，固定斜面足够长，斜面与水平面的夹角α=30°，一质量为3m的“L”型工件沿斜面以速度v₀匀速向下运动，工件上表面光滑，其下端连着一块挡板。某时，一质量为m的小木块从工件上的A点，沿斜面向下以速度v₀滑上工件，当木块运动到工件下端时（与挡板碰前的瞬间），工件速度刚好减为零，后木块与挡板第1次相碰，以后每隔一段时间，木块就与工件挡板碰撞一次。已知木块与挡板都是弹性碰撞且碰撞时间极短，木块始终在工件上运动，重力加速度为g。求：

（1）木块滑上工件时，木块、工件各自的加速度大小。

（2）木块与挡板第1次碰撞后的瞬间，木块、工件各自的速度大小。

（3）木块与挡板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的时间间隔及此时间间隔内木块和工件组成的系统损失的机械能△E。

Answer

（1）， （2）v1＝－2v0。v2＝2v0 （3）ΔE=24（n－1）mv02（n=2,3,4,5,……）

【解析】（1）设工件与斜面间的动摩擦因数为μ，木块加速度为a1，工件加速度为a2。

对木块，由牛顿第二定律可得：mgsinα＝ma1①

对工件，由牛顿第二定律可得：μ（3m+m）gcosα－3 mgsinα＝3ma2 ②

工件匀速运动时，由平衡条件可得：μ·3mgcosα＝3 mgsinα③

由①②③式解得：a1＝④

a2＝ ⑤

（2）设碰挡板前木块的速度为v，由动量守恒定律可得：

3mv0+mv0=mv ⑥

由⑥式解得：v=4v0 ⑦

木块以v与挡板发生弹性碰撞，设碰后木块速度为v1，工件速度为v2，由动量守恒定律可得： mv= mv1+ 3m·v2 ⑧

由能量守恒得： ⑨

由⑥⑦⑧⑨式联立解得：v1＝－2v0 ⑩

v2＝2v0

（3）第1次碰撞后，木块以2 v0沿工件向上匀减速运动，工件以2 v0沿斜面向下匀减速运动，工件速度再次减为零的时间：t=

木块的速度v1’=－2v0+a1t=4v0

此时，木块的位移：x1=－2v0t+a1t2＝

工件的位移：x2=2v0t－a2t2＝

即木块、工件第2次相碰前瞬间的速度与第1次相碰前瞬间的速度相同，以后木块、工件重复前面的运动过程，则第1次与第n次碰撞的时间间隔：

Δt=（n－1）t=（n=2,3,4,5,……）

木块、工件每次碰撞时，木块和工件的总动能都相等，Δt时间内木块、工件减少的机械能等于木块、工件减少的重力势能：ΔE=4mg（n－1）x2sin30°

由式解得：ΔE=24（n－1）mv02（n=2,3,4,5,……）