Question

如图所示，一质量不计的细线绕过无摩擦的轻质小定滑轮O与质量为5m的砝码相连，另一端与套在一根固定光滑的竖直杆上质量为m的圆环相连，直杆上有A、C、B三点，且C为AB的中点，AO与竖直杆的夹角θ＝53°，C点与滑轮O在同一水平高度，滑轮与竖直杆相距为L，重力加速度为g，设直杆足够长，圆环和砝码在运动过程中不会与其他物体相碰。现将圆环从A点由静止释放（已知sin 53°＝0.8，cos53°＝0.6），试求：

（1）砝码下降到最低点时，圆环的速度大小；

（2）圆环下滑到B点时的速度大小；

（3）圆环能下滑的最大距离；

（4）圆环下滑到最大距离时砝码的加速度大小。

Answer

（1）（3） （3） （4）

【解析】试题分析：根据圆环的受力情况分析速度变化情况，当圆环运动到B点时，重物下降到最低点位置，则取环与重物作为系统，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒，因此根据机械能守恒定律可解出圆环的速度大小；当圆环下滑到最大距离时，圆环与重物的速度均为零，再由机械能守恒定律，结合几何关系可求出圆环下滑的最大距离；应用牛顿第二定律分别对砝码和圆环分析，再根据它们间的加速度关系求解。

（1）当圆环到达C点时，砝码下降到最低点，此时砝码速度为零

圆环下降高度为：

砝码下降高度为：

由系统机械能守恒：

则圆环的速度：

（2）当圆环运动到B点时，下滑的高度，而砝码的高度不变，设圆环的速度为v2，此时砝码的速度为v2cos 53°.由系统机械能守恒

得圆环下滑到B点时的速度

（3）当圆环下滑最大距离为H时，圆环和砝码的速度均为零

砝码上升的高度

由系统机械能守恒，圆环重力势能的减少量等于砝码重力势能的增加量，即

mgH＝5mgΔH

得圆环能下滑的最大距离

（4） 设圆环下滑的最低点为D，下滑到D时OD段绳与竖直方向的夹角为37°。

设此时绳上拉力大小为T,

对砝码应用牛顿第二定律：5mg－T＝5m a2

对圆环在竖直方向应用牛顿第二定律：T cos 37°－mg＝m a1

砝码加速度a2与圆环加速度a1的关系为：a1 cos 37°＝a2

解得：

点睛：本题多次运用几何关系及机械能守恒定律，定律的表达式除题中变化的动能等于变化的重力势能外，还可以写成圆环的变化的机械能等于重物的变化的机械能．同时关注题中隐含条件的挖掘：重物下降到最低点的同时其速度等于零。