Question

如图所示，矩形A₁A₂A₃A₄和B₁B₂B₃B₄两矩形中心点重合，边平行或垂直，矩形A₁A₂A₃A₄和B₁B₂B₃B₄之间有电场强度大小相等的电场方向都垂直于矩形边向内，矩形B₁B₂B₃B₄内有垂直纸面向外的匀强磁场。矩形A₁A₂A₃A₄的长与宽都比矩形B₁B₂B₃B₄多2d。现在矩形A₁A₂A₃A₄边A₁A₂中点O有质量为m、电荷量为q的一带正电的粒子（不计重力）由静止释放，经过一段时间后，带电粒子又回到了O点。已知电场强度的大小都是E，匀强磁场的磁感应强度为B，带电粒子经过电场和磁场的分界线时，速度都与分界线垂直。求：

（1）若带电粒子最快回到O点，那么矩形B₁B₂B₃B₄的长和宽是多少？

（2）若带电粒子最快回到O点，那么带电粒子最快回到O点所用的时间？

（3）若两矩形的长是宽的两倍（也就是|A₁A₄|=2|A₁A₂|），则矩形A₁A₂A₃A₄的边长|A₁A₂|是多少？

Answer

（（1）； ；（2）；（3）

【解析】（1）带电粒子最快回到O点的轨迹如图所示；

带电粒子从O点出发进入磁场前运动过程中，由动能定理可得： ，

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则：

解得

那么矩形B1B2B3B4的长宽都是 ；

（2）带电粒子从O点出发进入磁场前运动过程的运动时间：

带电粒子在电场中的运动时间：

带电粒子在磁场中的运动时间：

带电粒子最快回到O点的时间为：

（3）若两矩形的长是宽的两倍（也就是|A1A4|=2|A1A2|）时，考虑周期性，带电粒子在磁场中运动的轨迹示意图（如图所示）（一个典型例子），设|B1B2|=a，考虑运动的周期性，由几何关系得：a=2nR（n=1，2，3，……），则矩形 A1A2A3A4 的边长|A1A2|是 （n=1，2，3, …….）