Question

如图所示，间距为L的平行且足够长的光滑导轨由两部分组成：倾斜部分与水平部分平滑相连，倾角为θ，在倾斜导轨顶端连接一阻值为r的定值电阻.质量为m、电阻也为r的金属杆MN垂直导轨跨放在导轨上，在倾斜导轨区域加一垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在水平导轨区域加另一垂直导轨平面向下、磁感应强度大小也为B的匀强磁场.闭合开关S，让金属杆MN从图示位置由静止释放，已知金属杆运动到水平导轨前，已达到最大速度，不计导轨电阻且金属杆始终与导轨接触良好，重力加速度为g.求：

(1)金属杆MN在倾斜导轨上滑行的最大速率v_m；

(2)金属杆MN在倾斜导轨上运动，速度未达到最大速度v_m前，当流经定值电阻的电流从零增大到I₀的过程中，通过定值电阻的电荷量为q，求这段时间内在定值电阻上产生的焦耳热Q；

(3)金属杆MN在水平导轨上滑行的最大距离x_m.

Answer

(1) (2) (3)

【解析】(1)金属杆MN在倾斜导轨上滑行的速度最大时，其受到的合力为零，

对其受力分析，可得：

mgsin θ－BIL＝0

根据欧姆定律可得：I＝

解得：vm＝

(2)设在这段时间内，金属杆运动的位移为x，

由电流的定义可得：q＝Δt

根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律得：

＝＝

解得：x＝

设电流为I0时金属杆的速度为v0，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律，可得：I0＝

此过程中，电路产生的总焦耳热为Q总，由功能关系可得：mgxsin θ＝Q总＋mv

定值电阻产生的焦耳热Q＝Q总

解得：Q＝－

(3)由牛顿第二定律得：BIL＝ma

由法拉第电磁感应定律、欧姆定律可得：

I＝

可得： v＝m

vΔt＝mΔv，

即xm＝mvm

得：xm＝

【名师点睛】

（1）金属杆滑行的速度最大时，其受到的合力为零，根据法拉第电磁感应定律求出安培力，根据合力为零列出方程求解；

（2）根据电流的定义和法拉第电磁感应定律、欧姆定律求出金属杆下滑的距离，根据功能关系和电路连接情况求出定值电阻产生的焦耳热；

（3）法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿第二定律求出金属杆在水平导轨上滑行的最大距离。