Question

如图（甲）所示，长为l、相距为d的两块正对的平行金属板AB和CD与一电源相连（图中未画出电源），B、D为两板的右端点。两板间电势差的变化如图（乙）所示。在金属板B、D端的右侧有一与金属板垂直的荧光屏MN，荧光屏距B、D端的距离为l。质量为m，电荷量为e的电子以相同的初速度v₀从极板左边中央沿平行极板的直线OO′连续不断地射入。已知所有的电子均能够从两金属板间射出，且每个电子在电场中运动的时间与电压变化的周期相等。忽略极板边缘处电场的影响，不计电子的重力以及电子之间的相互作用。求：

（1）t＝0和t＝T/2时刻进入两板间的电子到达金属板B、D端界面时偏离OO′的距离之比。

（2）两板间电压的最大值U₀。

（3）电子在荧光屏上分布的最大范围。

Answer

见解析

【解析】试题分析：（1）t=0时刻进入两板间的电子先沿O1O2方向做匀速运动，即有v0＝，而后在电场力作用下做类平抛运动，在垂直于O1O2方向做匀加速运动，设到达B、D端界面时偏离O1O2的距离为y1，则y1＝＝．

t=时刻进入两板间的电子先在时间内做抛物线运动到达金属板的中央，而后做匀速直线运动到达金属板B、D端界面．设电子到达金属板的中央时偏离O1O2的距离为y2，将此时电子的速度分解为沿O1O2方向的分量v0与沿电场方向的分量vE，并设此时刻电子的速度方向与O1O2的夹角为θ，电子沿直线到达金属板B、D端界面时偏离O1O2的距离为y2′，则有y2＝，tanθ＝＝；解得y2′＝，因此，y1：y2′=1：3．

（2）在t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子在离开金属板时偏离O1O2的距离最大，因此为使所有进入金属板间的电子都能够飞出金属板，应满足的条件为y2′≤，解得板间电太的最大值U0＝．

（3）设t=nT（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O2点的距离为Y1；

t=（2n+1）（n=0，1，2…）时刻进入两板间的电子到达荧光屏上的位置与O2点的距离为Y2′，

电子到达荧光屏上分布在△Y=Y2-Y1范围内．当满足y2′＝的条件时，△Y为最大．

根据题中金属板和荧光屏之间的几何关系，得到tanθ＝，

因此电子在荧光屏上分布的最大范围为△Y＝Y2−Y1＝y2′−y1＝。

考点：考查带电粒子在电场中的偏转，理清粒子的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律进行求解