Question

如图所示，用一根长为l=1m的细线，一端系一质量为m=1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T．求（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω₀至少为多大？

（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度为多大？

（3）细线的张力T与小球匀速转动的加速度ω有关，请在图2坐标纸上画出ω的取值范围在0到之间时的T-ω²的图象（要求标明关键点的坐标值）．
 

Answer

（1）；（2）（3）如图；

【解析】试题分析：（1）小球刚好离开锥面时，小球只受到重力和拉力，小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：

解得：

（2）同理，当细线与竖直方向成600角时由牛顿第二定律及向心力公式得：

解得：

（3）说明：（不需要写计算过程，只要大致画出轨迹就可以得2分每段1分）

a．当ω1=0时 T1=mgcosθ=8N 标出第一个特殊点坐标（0，8 N）

b.当0<ω<时：；；解得

当时，T2=12.5N 标出第二个特殊点坐标【12.5(rad/s)2，12.5N】

c．当时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β；

解得：

当时， T3=20N

标出第三个特殊点坐标【20(rad/s)2，20N】

画出T-ω2图象如图所示.

考点：牛顿第二定律的应用；匀速圆周运动.