Question

如图所示，一质量为m、长为L的木板A静止在光滑水平面上，其左侧固定一劲度系数为k的水平轻质弹簧，弹簧原长为l₀，右侧用一不可伸长的轻质细绳连接于竖直墙上。现使一可视为质点小物块B以初速度v₀从木板的右端无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧。设B的质量为λm，当时细绳恰好被拉断。已知弹簧弹性势能的表达式，其中k为劲度系数，x为弹簧的压缩量。求：

（1）细绳所能承受的最大拉力的大小F_m

（2）当时，小物块B滑离木板A时木板运动位移的大小s_A

（3）当λ＝2时，求细绳被拉断后长木板的最大加速度a_m的大小

（4）为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，λ应满足的条件

Answer

（1）（2）（3）（4）

【解析】

试题分析：⑴细绳恰好被拉断时，B的速度为0，细绳拉力为Fm，设此时弹簧的压缩量为x0，则有：

由能量关系，有：

解得：

⑵细绳拉断后小物块和长木板组成的系统动量守恒，有：

则小物块滑离木板时木板二者的位移关系为：

又

解得：

⑶当时设细绳被拉断瞬间小物块速度大小为v1，则有：

细绳拉断后，小物块和长木板之间通过弹簧的弹力发生相互作用，当弹簧被压缩至最短时，长木板的加速度最大，此时小物块和长木板的速度相同，设其大小为v，弹簧压缩量为x，则由动量守恒和能量守恒有：

对长木板，有：

解得：

⑷由题意，时，细绳不会被拉断，木板保持静止，小物块向左运动压缩弹簧后必将反向运动。

，小物块向左运动将弹簧压缩x0后细绳被拉断，设此时小物块速度大小为u1

由能量关系，有：

此后在弹簧弹力作用下小物块做减速运动。设弹簧恢复原长时小物块速度恰减小为零，此时木板的速度为u2，则有：

解得：

所以为保证小物块在运动过程中速度方向不发生变化，λ应满足的条件为：

考点：动量守恒定律；能量守恒定律；牛顿第二定律.