Question

导体切割磁感线的运动可以从不同角度来认识。如图所示，固定于水平面的U形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在与其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F方向相同；导线MN始终与导线框形成闭合电路。已知磁场的磁感应强度为B，导线的长度恰好等于平行轨道的间距L。

（1）通过法拉第电磁感应定律推导证明：导线MN切割磁感线产生的电动势E=BLv。

（2）从微观角度看，导线MN中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。为了方便，可认为导线MN中的自由电荷为正电荷。

a．电动势在数值上等于非静电力把1C的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功。如果移送电荷q时非静电力所做的功为W，那么电动势。请据此推导证明：导线MN切割磁感线产生的电动势E=BLv。

b．导体切割磁感线时，产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的。但我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。那么，导线MN中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请通过计算分析说明。

Answer

（1）（2）a．见解析b．在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用

【解析】（1）在∆t时间内，导线MN的位移

线框的面积变化量是

则穿过闭合电路的磁通量的变化量是

根据法拉第电磁感应定律

（2）a．导线MN切割磁感线时相当于电源，由右手定则可以判断M为正极，N为负极，所以自由电荷沿导体棒由N向M定向移动，自由电荷实际的速度方向和所受洛伦兹力的方向如图1所示。将f沿导线方向和垂直导线方向分解为f1和f2，其中f1为非静电力，如图2所示。设自由电荷的电荷量为q，则，自由电荷在从N移动到M，f1做的功，所以导线MN切割磁感线产生的电动势。

b．设自由电荷沿导线MN定向移动的速率为。在时间内，自由电荷沿导线MN定向移动的距离，垂直导线方向移动的距离。所以在这段时间内： 做正功， ； 做负功， 。因此，即导线MN中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零。

做正功，宏观上表现为“电动势”，使电路获得电能； 做负功，宏观上表现为安培力做负功，阻碍导线MN运动，消耗机械能。大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将机械能转化为等量的电能，在此过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用。