Question

如图所示，在竖直平面内建立xoy坐标系，在第Ⅰ象限内分布着方向沿x轴正方向、大小为E₁的匀强电场；在第Ⅱ象限内分布着方向沿y轴正方向、大小E₂=的匀强电场。用长度为L的最大承受拉力为4mg的绝缘细线将质量为m、电荷量为+q的带电小球（可视为质点）悬挂在固定点M，M点坐标为（0，2L），在M点正下方距M点的N点处有一钉子。现在用外力把小球拉到右侧与M点等高处由静止释放，小球运动到最低点，绳碰击钉子时刚好被拉断，然后进入第Ⅱ象限，经时间，立即在第Ⅱ象限内再加垂直于xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为，再经过时间t₀撤去匀强磁场和匀强电场。（已知重力加速度为g，不计空气阻力，计算结果用g、L、m、q表示）。求：

（1）电场强度E₁的大小；

（2）小球在下摆过程中达到最大速度时细线的拉力；

（3）小球在第Ⅱ象限中运动的时间t及小球离开第Ⅱ象限的位置坐标。

Answer

（1）（2）（3）（，0）

【解析】（1）设小球运动到M点正下方时的速度为v，由动能定理得：

小球运动到最低点，细线被钉子挡住，做圆周运动的半径为R1，则

由牛顿第二定律有：

解得：

（2）小球在向下摆动的过程中，设合力与竖直方向的夹角为，当合力方向与速度方向垂直时，即细线与竖直方向的夹角为时，速度最大，设为，则

合力，即

又由动能定理有：

由牛顿第二定律有：

解得：

（3）细线被拉断，小球进入第Ⅱ象限，由于，所以小球沿水平方向做匀速直线运动。经过时间t0，加上匀强磁场后，小球做匀速圆周运动，设半径为R2，周期为T，则 即：

即：

所以有：

即小球做圆周运动时间是半个周期，撤去电场和磁场后，小球将做平抛运动穿过x轴。则撤去电场和磁场时，小球的位置坐标为：

小球做平抛运动有：

故小球离开第Ⅱ象限的位置坐标为（，0）

小球在第Ⅱ象限中运动的时间

解得： ，

坐标：（，0）