Question

如图所示，左图是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的原理图。在原理图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接，现使小车(视作质点)从P点以一定的初速度沿斜面向下运动。已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=1/24,g=10m/s²,sin37°=0.6cos37°=0.8求：（结果用根号表示）

（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？

（2）若小车在P点的初速度为10m/s,通过计算说明小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer

（1）（2）球能通过两个圆形轨道

【解析】试题分析：小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过A点的速度．由几何知识求出P、Q间的距离SPQ，运用动能定理研究小球从P到A的过程，求解P点的初速度；首先根据小车在P点的初速度10m/s，与第一问中v0比较，分析小车能否安全通过圆弧轨道O1．若小车恰能通过B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，求出小车通过B点的临界速度，根据动能定理求出小车在P点的临界速度，再确定小车能否安全通过两个圆形轨道。

（1）球在A点时有：

球从P到A，由动能定理可得：

由几何关系：

由以上可解得球在P点的初速度为

（2）球从P到B ，由动能定理可得：

由几何关系：

由以上可解得球在B点的速度为：

故球能通过两个圆形轨道。

点睛：对于物体在竖直平面内光滑圆轨道最高点的临界速度，要在理解的基础上加强记忆，圆周运动往往与动能定理、机械能守恒等进行综合．本题难点在于运用几何知识求距离。