Question

如图所示，半径为、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接，两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（细绳a、b与杆在同一竖直平面内）．求：

（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰离开竖直杆？

（2）轻绳a的张力F_a与竖直杆转动的角速度ω之间的关系．

Answer

（1）竖直杆角速度ω为时，小球恰离开竖直杆；

（2）轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为：

①0≤ω2≤时，Fa=；

②时，；

③ω2时，．

【解析】试题分析：（1）小球恰离开竖直杆时，受重力和拉力，拉力的竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力；

（2）分墙壁对球有弹力、球飞起、绳子b也有弹力三种情况讨论，注意合力的水平分力提供向心力，合力竖直分力为零．

【解析】
（1）小球恰离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知：

水平方向：Fasinα=mω2r

竖直方向：Facosα=mg

联立解得：ω2=

故ω=

（2）由（1）可知0≤ω2≤时，Fa=

若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r=lsinβ

水平方向：

竖直方向：Facosβ=mg

联立解得：

当轻绳恰升直时，β=60°，此时ω=

固有，此时

若角速度ω再增大，轻绳b拉直后，小球做圆周运动的半径为r=lsin60°

水平方向：

竖直方向：Facos60°=Fbcos60°+mg

联立解得：，此时ω2

答：（1）竖直杆角速度ω为时，小球恰离开竖直杆；

（2）轻绳a的张力Fa与竖直杆转动的角速度ω之间的关系为：

①0≤ω2≤时，Fa=；

②时，；

③ω2时，．

【点评】本题关键是明确明确小球合力的水平分力提供向心力，竖直分力平衡；注意第二问要分三种情况讨论，运算量较大，要细心．