Question

如图所示，倾角为45°的粗糙斜面AB底端与半径R=0.4m的光滑半圆轨道BC平滑相接，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直平面内，A、C两点等高 。 质量m=1kg的滑块(可视为质点)从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，g取10m/s²。

(1)求斜面AB的动摩擦因数μ

(2)若改变起始滑块的释放高度，某次滑块通过圆弧BDC离开C处后恰能垂直打在斜面上，求滑块经过C点时对轨道的压力；

(3)若要求滑块在圆弧BDC段不脱离轨道，则A下滑的高度H应该满足什么条件。

Answer

（1）0.5；（2）3.3N，方向竖直向上；（3）H≥2m或H≤0.8m．

【解析】（1）A到D过程，由动能定理得：mg（2R-R）-μmgcos45°×=0-0，解得：μ=0.5；
（2）离开C点后滑块做平抛运动，垂直打在斜面上时有
水平位移：x=vCt
竖直位移：

速度关系：tan45°=，
位移关系：tan45°=，
解得：

在C点，由牛顿第二定律得：mg+F=m，解得：F=3.3N
由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力：F'=F=3.3N，方向：竖直向上；
（3）若滑块恰能到达C点，在C点，由牛顿第二定律得：
mg=m，解得：vC′=2m/s，
从高为H的最高点到C的过程，由动能定理得：mg（H-2R）-μmgcos45°×=mvC′2-0，解得：H=2m  
由题意可知，滑块从A处，即距地面高度为2R=0.8m处下滑恰好到达D点，
所以，若使滑块在圆弧在BDC段不脱离轨道，则A下滑的高度H≥2m或H≤0.8m；

点睛：本题是动能定理与向心力、平抛运动及几何知识的综合，关键要注意挖掘隐含的临界条件，知道小球通过竖直平面圆轨道最高点时，重力恰好提供向心力，对于平抛运动，要结合几何知识进行求解．