Question

如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”．它可等效为如图乙所示的模型：竖直固定的磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点在轨道外侧做完整的圆周运动，A、B两点分别为轨道上的最高与最低点．质点受轨道的磁性引力始终指向圆心O且大小恒定，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g． 

(1)判断质点运动过程中机械能是否守恒，并说明理由； 

(2)若磁性引力的大小为10mg，质点在A点的速度为，求质点在该点对轨道的弹力；

(3)求满足质点做完整圆周运动时磁性引力的最小值． 

Answer

（1）机械能守恒 （2）10mg，方向竖直向下 （3）5mg

【解析】试题分析：因为质点运动过程中只有重力做功，所以质点的机械能守恒；在A点，由合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道对质点的弹力，再由牛顿第三定律得到质点对轨道的弹力．若磁性引力大小F可变，质点仍做完整圆周运动，质点在B点不脱离轨道即可，到达B点的速度最小，机械能守恒定律与牛顿第二定律求解。

（1）为质点运动过程中只有重力做功，所以质点的机械能守恒

（2）在A点时，设轨道对质点有向上的大小为FN的弹力．

根据牛顿第二定律得：

代入数据计算得出：FN=10mg

由牛顿第三定律得，质点对轨道的弹力大小为10mg，方向竖直向下．

（3）质点在B点不脱离轨道即可，当vA=0，到达B点的速度最小，

根据机械能守恒定律得：

设磁性引力为F，在B点有：

所以有：F=5mg+ FN

当FN=0时，磁性引力最小，故得：Fmin=5mg

点睛：本题主要考查了机械能守恒和牛顿第二定律解决竖直平面内的圆周运动的情况。在解答的过程中正确分析得出小球经过最高点和最低点的条件是解答的关键，正确写出向心力的表达式是解答的基础。