Question

如下图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

(1)求两星球做圆周运动的周期：

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为。已知地球和月球的质量分别为和。求与两者平方之比。（结果保留3位小数）

Answer

（1），（2）

【解析】试题分析：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有： ，

联立解得： ，

对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

化简得：

（2）将地月看成双星，由（1）得

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

化简得：

所以两种周期的平方比值为：

考点：万有引力定律及其应用

【名师点睛】对于双星问题，我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题。