Question

如图所示，水平地面上竖直固定一个光滑的、半径R=0.45m的1/4圆弧轨道，A、B分别是圆弧的端点，圆弧B点右侧是光滑的水平地面，地面上放着一块足够长的木板，木板的上表面与圆弧轨道的最低点B等高，可视为质点的小滑块P₁和P₂的质量均为m=0.20kg，木板的质量M=4m，P₁和P₂与木板上表面的动摩擦因数分别为=0.20和=0.50，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力；开始时木板的左端紧靠着B，P₂静止在木板的左端，P₁以v₀=4.0m/s的初速度从A点沿圆弧轨道自由滑下，与P₂发生弹性碰撞后，P₁处在木板的左端，取g=10m/s²。求：

（1）P₁通过圆弧轨道的最低点B时对轨道的压力；

（2）P₂在木板上滑动时，木板的加速度为多大？

（3）已知木板长L=2m，请通过计算说明P₂会从木板上掉下吗？如能掉下，求时间？如不能，求共速？

Answer

（1）压力大小为13.1N，方向竖直向下；（2）木板的加速度为1.0m/s2；（3）没有共速，P2已经从木板上掉下，时间是0.67s.

【解析】（1）P1从A到B为研究过程，由机械能守恒得：

在B点据牛顿第二定律得：
在B点由牛顿第三定律可知：F与F′等大反向，联立以上解得：vB=5m/s
F′=13.1N，方向竖直向上．
（2）由于两物体碰撞过程中是弹性碰撞，所以碰后P2的速度为5m/s，P2在长木板上做匀减速直线运动，P1静止在长木板上一齐做匀加速直线运动；据牛顿第二定律得：
μ2mg=（M+m）a
代入数据解得：a=1m/s2
（3）碰撞后P2在木板上滑动时：，向左；P1与木板共同的加速度为：，向右。设它们有共速：，得：，它们的相对位移大小：，∴，故P2已经从木板上掉下，时间是t2。

，所求的时间：.（另：t2=1.0s>，舍去）