Question

如图所示，两平行金属导轨轨道MN、MʹNʹ间距为L，其中MO和MʹOʹ段与金属杆间的动摩擦因数μ=0.4，ON和OʹNʹ段光滑且足够长，两轨道的交接处由很小的圆弧平滑连接，导轨电阻不计，左侧接一阻值为R的电阻和电流传感器，轨道平面与水平面的夹角分别为α=53°和β=37°．区域PQPʹQʹ内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为d，PPʹ的高度为h₂=0.3m．现开启电流传感器，同时让质量为m、电阻为r的金属杆ab自高h₁=1.5m处由静止释放，金属杆与导轨垂直且保持接触良好，电流传感器测得初始一段时间内的I﹣t（电流与时间关系）图象如图乙所示（图中I₀为已知）．求：

（1）金属杆第一次进入磁场区域时的速度大小v₁（重力加速度为g取10m/s²）；

（2）金属杆第一次离开磁场到第二次离开磁场区域时的时间间隔△t的大小（此后重力加速度取g）；

（3）电阻R在t₁﹣t₃时间内产生的总热能Q_R（用v₁和其他已知条件表示）；

（4）定性画出t₄时刻以后可以出现电流的、且金属杆又回到OOʹ的这段时间内可能的I﹣t关系图象．

Answer

（1）；

（2）

（3） ；

（4）如图：

或

【解析】（1）金属杆从静止开始运动到达pp′位置，由动能定理
mgh1−μmgh1ctgθ−mgh2＝mv12
解得：

（2）金属杆第一次出磁场的速度为v2，由图线可知，当金属杆中的电流为I0时处于平衡状态：
由FA=BI0L=mgsinβ得， ，解得：
金属杆第一次出磁场的速度为v2，加速度a2=gsinβ，末速度为0，金属杆做匀减速运动，根据匀变速运动规律，可以看成反向匀加速，由：v=v0-at
根据对称性得： ，
进入磁场后，金属杆做匀速运动，穿越磁场的时间 ，
所以时间△t=△t1+△t2= ，
（3）电阻R在t1-t3时间内产生的总热能，由能量守恒得；

由串并联电路特点得：
（4）①t4之后，冲上MO斜面之后由于摩擦力作用能量损耗，速度减小，穿过磁场又在滑下穿过磁场的情况：

②进入磁场为穿越就减速到零返回的情况：