Question

某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，将可视为质点的小球，从轨道AB上高H处的某点由静止释放，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．已知小球经过圆弧最高点D时的速度大小与轨道半径R和H的关系满足，且，g取10m/s²．

（1）求圆轨道的半径R和小球的质量m．

（2）若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低的位置与圆心O等高，求此时θ的值．

Answer

（1）0.2m，0.1kg（2）45°

【解析】试题分析：小球在D点，受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式，结合已知条件中D点速度表达式得到F﹣H的函数表达式，然后结合F﹣H图线求出圆轨道的半径和小球的质量；小球离开D点做平抛运动，初速度越小，水平方向运动距离越小，根据几何关系知在斜面上下落的位置越低，根据通过D点的临界条件求出θ的值．

（1）由题意，小球在D点的速度大小满足，且，

在D点，由牛顿第二定律得，

又F′=F，解得：，

根据图象得：，

联立解得：．

（2）小球落在斜面上最低的位置时，在D点的速度最小，根据题意，小球恰能到达D点时，在D点的速度最小，设最小速度为v，

则有：，解得；

由平抛运动规律得，，解得，

由几何关系可得：，解得θ=45°．